定積分の置換積分

定積分の置換積分について見ていきます。

・定積分の置換積分
\(f(x)\)の原始関数を \(F(x)=\displaystyle\int f(x)dx\) として、\(x\)が\(t\)の関数
\(x=g(t)\)・・・①
で表されるとき次の等式が成り立ちました。(不定積分の置換積分)

\(F(x)=\displaystyle\int f(g(t))g'(t)dt\ (=F(g(t)))\)・・・②

このことを定積分で考えると、(変数が変わると辻褄を合わせるために積分区間も変わることに注意して)「\(t\) が \(α\)から\(β\)」まで変わるとき、①よりそれに対応して 「\(x\) が \(a\) から \(b\)」まで変化するとします。このとき②より

\(\displaystyle\int_{α}^{β}f(g(t))g'(t)dt\)
\(=[F(g(t))]_{α}^{β}\)
\(=F(g(β))-F(g(α))\)
\(=F(b)-F(a)\)
\(=\displaystyle\int_{a}^{b}f(x)dx\)

となるので次の定積分の置換積分の等式が成り立つことになります。

また、上記等式の \(x,t\) を入れかえて、左辺と右辺を入れかえると次の導関数接触型の置換積分の等式が得られます。

(例題)
次の定積分を求めよ。
(1)\(\displaystyle\int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{4}}\sin^3x\cos xdx\)
(2)\(\displaystyle\int_{0}^{1}\displaystyle\frac{1}{e^x+1}dx\)
(3)\(\displaystyle\int_{0}^{\frac{π}{2}}\displaystyle\frac{\sin x}{1+\cos x}dx\)
(4)\(\displaystyle\int_{1}^{e}\displaystyle\frac{\sqrt{1+\log x}}{x}dx\)

(解答)
(1)
(\(\sin x\) を微分すると、\(\cos x\) なので導関数接触型です。置換してもよいですが、そのままやります)
\(\displaystyle\int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{4}}\sin^3x\cos xdx\)
(\(t^3\)の積分をして)
\(=\left[\displaystyle\frac{\sin^4x}{4}\right]_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{4}}\)
\(=\displaystyle\frac{1}{4}(\displaystyle\frac{1}{4}-\displaystyle\frac{1}{16})\)
\(=\displaystyle\frac{3}{64}\)

(2)
\((e^x=t\) と置くのが基本です)
\(\displaystyle\int_{0}^{1}\displaystyle\frac{1}{e^x+1}dx\) において
\(e^x=t\) とおくと
\(e^xdx=dt\) だから
\(dx=\displaystyle\frac{1}{t}dt\)

また、\(x:0 \to 1\) のとき \(t:1 \to e\) だから
\(\displaystyle\int_{0}^{1}\displaystyle\frac{1}{e^x+1}dx\)
\(=\displaystyle\int_{1}^{e}\displaystyle\frac{1}{t(t+1)}dt\)
(部分分数分解して)
\(=\displaystyle\int_{1}^{e}(\displaystyle\frac{1}{t}-\displaystyle\frac{1}{t+1})dt\)
\(=\left[\log|t|-\log|t+1|\right]_{1}^{e}\)
\(=\{1-\log(e+1)\}-(-\log 2)\)
\(=1+\log2-\log(e+1)\)

(3)
(分母の微分が分子になっているので(符号は違う))
\(\displaystyle\int_{0}^{\frac{π}{2}}\displaystyle\frac{\sin x}{1+\cos x}dx\)
\(=-\displaystyle\int_{0}^{\frac{π}{2}}\displaystyle\frac{-\sin x}{1+\cos x}dx\)
\(=-[\log|1+\cos x|]_{0}^{\frac{π}{2}}\)
\(=-(\log 1-\log 2)\)
\(=\log 2\)

(4)

\(\displaystyle\int_{1}^{e}\displaystyle\frac{\sqrt{1+\log x}}{x}dx\) について
\(\log x=t\) とおくと
\(\displaystyle\frac{1}{x}dx=dt\)
また、\(x:1 \to e\) のとき \(t:0 \to 1\) だから

\(\displaystyle\int_{1}^{e}\displaystyle\frac{\sqrt{1+\log x}}{x}dx\)
\(=\displaystyle\int_{0}^{1}\sqrt{1+t}dt\)
\(=\left[\displaystyle\frac{2}{3}(1+t)^{\frac{3}{2}}\right]_{0}^{1}\)
\(=\displaystyle\frac{2}{3}(\sqrt{8}-1)\)
\(=\displaystyle\frac{2}{3}(2\sqrt{2}-1)\)

以上になります。お疲れさまでした。
ここまで見て頂きありがとうございました。
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