引き続き積分漸化式の例題です。
今回は三角関数がメインです。
(例題1)
\(I_n=\displaystyle\int_{0}^{\frac{π}{2}}\sin^nxdx\) (\(n=0,1,2,\cdots\)) とする。
(1)\(I_0,I_1\)を求めよ。
(2)\(I_{n}\) と \(I_{n-2}\) の関係式を求めよ。
(3)\(\displaystyle\int_{0}^{\frac{π}{2}}\sin^4xdx\)、 \(\displaystyle\int_{0}^{\frac{π}{2}}\sin^5xdx\) を求めよ。
(4)\(I_n\)を\(n\)を用いて表せ。
(解答)
(1)
\(I_0=\displaystyle\int_{0}^{\frac{π}{2}}dx=\)\(\displaystyle\frac{π}{2}\)
\(I_1=\displaystyle\int_{0}^{\frac{π}{2}}\sin xdx=[-\cos x]_{0}^{\frac{π}{2}}=\)\(1\)
(2)
\(I_n=\displaystyle\int_{0}^{\frac{π}{2}}\sin^{n-1}x\sin xdx\)
\(=[\sin^{n-1}x(-\cos x)]_{0}^{\frac{π}{2}}-\displaystyle\int_{0}^{\frac{π}{2}}(n-1)\sin^{n-2}x\cos x(-\cos x)dx\)
\(=0+\displaystyle\int_{0}^{\frac{π}{2}}(n-1)\sin^{n-2}x\cos^2xdx\)
(\(\sin x\)に統一すると)
\(=\displaystyle\int_{0}^{\frac{π}{2}}(n-1)\sin^{n-2}x(1-\sin^2x)dx\)
\(=(n-1)\displaystyle\int_{0}^{\frac{π}{2}}\sin^{n-2}xdx-(n-1)\displaystyle\int_{0}^{\frac{π}{2}}\sin^{n}xdx\)
\(=(n-1)I_{n-2}-(n-1)I_n\)
よって
\(I_n=(n-1)I_{n-2}-(n-1)I_n\) だから
\(nI_n=(n-1)I_{n-2}\)
\(I_n=\displaystyle\frac{n-1}{n}I_{n-2}\) (\(n=2,3,\cdots\))
(3)
漸化式は1つ飛ばしの関係になっているので、\(n\)が偶数か奇数かで着地する地点が\(I_0\)か\(I_1\)で違います。
\(I_n=\displaystyle\frac{n-1}{n}I_{n-2}\) より
\(\displaystyle\int_{0}^{\frac{π}{2}}\sin^4xdx=I_4\)
(\(n=4\)を代入)
\(=\displaystyle\frac{3}{4}I_2\)
(\(n=2\)を代入)
\(=\displaystyle\frac{3}{4}\cdot\displaystyle\frac{1}{2}I_0\)
\(=\displaystyle\frac{3}{4}\cdot\displaystyle\frac{1}{2}\cdot\displaystyle\frac{π}{2}\)
\(=\displaystyle\frac{3}{16}π\)
\(\displaystyle\int_{0}^{\frac{π}{2}}\sin^5xdx=I_5\)
(\(n=5,3\) を順次代入)
\(=\displaystyle\frac{4}{5}I_3\)
\(=\displaystyle\frac{4}{5}\cdot\displaystyle\frac{2}{3}I_1\)
\(=\displaystyle\frac{4}{5}\cdot\displaystyle\frac{2}{3}\cdot1\)
\(=\displaystyle\frac{8}{15}\)
(4)
\(I_n=\displaystyle\frac{n-1}{n}I_{n-2}\) より
(ア)\(n\)が偶数のとき
\(I_n=\displaystyle\frac{n-1}{n}I_{n-2}=\displaystyle\frac{n-1}{n}\cdot\displaystyle\frac{n-3}{n-2}I_{n-4}\)
(分子は奇数、分母は偶数で、2個ずつ下がっていく。最後は\(I_2=\displaystyle\frac{1}{2}I_0\) となるから)
\(=\displaystyle\frac{n-1}{n}\cdot\displaystyle\frac{n-3}{n-2}\cdot\displaystyle\frac{n-5}{n-4}\cdots\displaystyle\frac{3}{4}\cdot\displaystyle\frac{1}{2}I_0\)
\(=\displaystyle\frac{n-1}{n}\cdot\displaystyle\frac{n-3}{n-2}\cdot\displaystyle\frac{n-5}{n-4}\cdots\displaystyle\frac{3}{4}\cdot\displaystyle\frac{1}{2}\cdot\displaystyle\frac{π}{2}\)
(イ)\(n\)が奇数のとき
同様に
\(I_n=\displaystyle\frac{n-1}{n}I_{n-2}=\displaystyle\frac{n-1}{n}\cdot\displaystyle\frac{n-3}{n-2}I_{n-4}\)
(分子は偶数、分母は奇数で、2個ずつ下がっていく。最後は\(I_3=\displaystyle\frac{2}{3}I_1\) となるから)
\(=\displaystyle\frac{n-1}{n}\cdot\displaystyle\frac{n-3}{n-2}\cdot\displaystyle\frac{n-5}{n-4}\cdots\displaystyle\frac{4}{5}\cdot\displaystyle\frac{2}{3}I_1\)
\(=\displaystyle\frac{n-1}{n}\cdot\displaystyle\frac{n-3}{n-2}\cdot\displaystyle\frac{n-5}{n-4}\cdots\displaystyle\frac{4}{5}\cdot\displaystyle\frac{2}{3}\)
(参考)
\(\displaystyle\int_{0}^{\frac{π}{2}}\cos^nxdx\) も全く同じ方法で求めることができて、結果も同じになる。もしくは次のように置換積分をすることで示すこともできる。
\(\displaystyle\int_{0}^{\frac{π}{2}}\cos^nxdx\)
(\(\sin\) に変換するために \(x=\displaystyle\frac{π}{2}-t\) と置換すると)
\(=\displaystyle\int_{\frac{π}{2}}^{0}\cos^n(\displaystyle\frac{π}{2}-t)(-dt)\)
(\(-1\)で上端下端を入れ替えて)
\(=\displaystyle\int_{0}^{\frac{π}{2}}\sin^ntdt\)
\(=I_n\)
なお、これらの\(\sin^nx,\cos^nx\) の定積分はウォリス積分とよばれる。
(例題2)
(1)\(J_n=\displaystyle\int_{1}^{e}(\log x)^n dx\) とするとき、\(J_n\) と \(J_{n-1}\) の関係式を求めよ。
(2)\(T_n=\displaystyle\int_{0}^{\frac{π}{4}}\tan^nxdx\) とするとき、\(T_n\) と\(T_{n-2}\) の関係式を求めよ。
(解答)
(1)
(\(1\cdot(\log x)^n\) とみて部分積分します。もちろん微分するのは\(n\)乗のほうです)
\(J_n=\displaystyle\int_{1}^{e}1\cdot(\log x)^n dx\)
\(=[x(\log x)^n]_{1}^{e}-\displaystyle\int_{1}^{e}x\cdot n(\log x)^{n-1}\cdot\displaystyle\frac{1}{x} dx\)
\(=e-n\displaystyle\int_{1}^{e}(\log x)^{n-1} dx\)
よって
\(J_n=e-nJ_{n-1}\)
(2)
そこで、\(\tan^{n-2}x\tan^{2}x\) とみて、三角関係の相互式 \(1+\tan^2x=\displaystyle\frac{1}{\cos^2x}\) を利用して次数下げと、導関数接触型の積分計算を行います。
\(T_n=\displaystyle\int_{0}^{\frac{π}{4}}\tan^{n-2}x\tan^2 xdx\)
\(=\displaystyle\int_{0}^{\frac{π}{4}}\tan^{n-2}x(\displaystyle\frac{1}{\cos^2x}-1)dx\)
\(=\displaystyle\int_{0}^{\frac{π}{4}}\tan^{n-2}x\cdot\displaystyle\frac{1}{\cos^2x}dx-\displaystyle\int_{0}^{\frac{π}{4}}\tan^{n-2}xdx\)
(\(t^{n-2}\)の積分をして)
\(=\left[\displaystyle\frac{\tan^{n-1}x}{n-1}\right]_{0}^{\frac{π}{4}}-T_{n-2}\)
\(=\displaystyle\frac{1}{n-1}-T_{n-2}\)
よって
\(T_n=\displaystyle\frac{1}{n-1}-T_{n-2}\)
以上なります。お疲れさまでした。
ここまで見て頂きありがとうございました。
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