定積分の上端下端が\(x\)の関数になっている場合、この定積分を微分するとどうなるか検討します。
・定積分と微分
\(\displaystyle\int_{1}^{2}(t^2+2t+3)dt\) のような、上端と下端が定数の定積分 \(\displaystyle\int_{a}^{b}f(t)dt\) (\(a,b\)は定数) は定数です。
一方、\(x\)が\(t\)に無関係な変数のとき、\(\displaystyle\int_{3}^{x}(t^2+3t+1)dt\) や \(\displaystyle\int_{2}^{x}(t^2+2xt+1)dt\) のような、上端や下端に変数\(x\)を含む定積分\(\displaystyle\int_{a}^{x}f(t)dt\) や \(\displaystyle\int_{a}^{x}f(t,x)dt\) (\(a\)は定数)は、一旦\(t\)で積分した後に\(x\)を代入することになるので、\(x\)の関数になりこれを定積分で表された関数とよびます。
定積分で表された関数 \(\displaystyle\int_{a}^{x}f(t)dt\) (\(a\)は定数) は、\(x\)で微分すると次のように\(f(t)\)の\(t\)にそのまま\(x\)を代入した式になります(積分して微分するので元に戻るという感覚)。\(f(x)\) の原始関数の1つを\(F(x)\)とすると
\(\displaystyle\frac{d}{dx}\displaystyle\int_{a}^{x}f(t)dt\)\(=\displaystyle\frac{d}{dx}\{F(x)-F(a)\}\)\(=f(x)\)
より一般的な場合、単に上端や下端が\(x\)ではない、\(x^2\)や\(\log x\) のような\(x\)の関数になっている場合は、合成関数の微分を考えることにより次のようになります。
\(\displaystyle\frac{d}{dx}\displaystyle\int_{g_1(x)}^{g_2(x)}f(t)dt\)\(=\displaystyle\frac{d}{dx}\{F(g_2(x))-F(g_1(x))\}\)\(=F(g_2(x))g_2′(x)-F(g_1(x))g_1′(x)\)
\(\displaystyle\frac{d}{dx}\displaystyle\int_{a}^{x}f(t)dt=f(x)\) (\(a\)は定数)
\(\displaystyle\frac{d}{dx}\displaystyle\int_{g_1(x)}^{g_2(x)}f(t)dt=F(g_2(x))g_2′(x)-F(g_1(x))g_1′(x)\)
上端と下端が単なる文字\(x\)でない場合は、上端下端の導関数を掛けるのを忘れずに。
これらの微分では積分計算をせずに導関数が求まるので、グラフの増減や極値をとる\(x\)の値が簡単に分かるのが利点です。ただし極値の値自体は定積分を計算する必要があります。
しかし、 \(\displaystyle\int_{a}^{x}f(t,x)dt\) 型の定積分で表された関数では注意が必要です。例えば、\(\displaystyle\int_{a}^{x}xf(t)dt\) では、\(\displaystyle\frac{d}{dx}\displaystyle\int_{a}^{x}xf(t)dt=xf(x)\) とはなりません。何故かというと\(t\)で積分して\(x\)を代入して微分する際に、積の微分を利用するからです。正しくは、\(x\)を分離することにより
\(\displaystyle\frac{d}{dx}\displaystyle\int_{a}^{x}xf(t)dt=\displaystyle\frac{d}{dx}\left\{x×\displaystyle\int_{a}^{x}f(t)dt\right\}\)
\(=\displaystyle\int_{a}^{x}f(t)dt+xf(x)\)
となります。\(x\)が分離できない場合には、置換積分をするか素直に一旦積分するとよいでしょう。
(例題)
(1)\(0≦x≦π\) のとき、\(f(x)=\displaystyle\int_{0}^{x}t\cos tdt\) の極値を求めよ。
(2)\(f(x)=\displaystyle\int_{0}^{x}(x-t)\sin(t^3)dt\) のとき、\(f”(x)\) を求めよ。
(解答)
(1)
\(f(x)=\displaystyle\int_{0}^{x}t\cos tdt\) (\(0≦x≦π\))
\(f'(x)=x\cos x\)
よって、\(x=\displaystyle\frac{π}{2}\) のとき極大値をとる。
その値は
\(f(x)=\displaystyle\int_{0}^{\frac{π}{2}}t\cos tdt\)
\(=[t\sin t]_{0}^{\frac{π}{2}}-\displaystyle\int_{0}^{\frac{π}{2}}\sin tdt\)
\(=\displaystyle\frac{π}{2}+[\cos t]_{0}^{\frac{π}{2}}\)
\(=\displaystyle\frac{π}{2}-1\)
(2)
\(f(x)=\displaystyle\int_{0}^{x}(x-t)\sin(t^3)dt\)
\(=x\displaystyle\int_{0}^{x}\sin(t^3)dt-\displaystyle\int_{0}^{x}t\sin(t^3)dt\)
よって
\(f'(x)=\displaystyle\int_{0}^{x}\sin(t^3)dt+x\sin(x^3)-x\sin(x^3)\)
\(=\displaystyle\int_{0}^{x}\sin(t^3)dt\)
ゆえに
\(f”(x)=\sin(x^3)\)
以上になります。お疲れさまでした。
ここまで見て頂きありがとうございました。
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