直線運動と変化量・道のり

直線運動の積分に関する事項について見ていきます。

・直線運動と変化量・道のり

数直線上を運動する点\(P\)があり、その速度が\(t\)の関数 \(v(t)\) で与えられているとします。このとき\(P\)の座標(位置)を \(x(t)\) とすると
\(\displaystyle\frac{d}{dt}x(t)=v(t)\)　(\(x'(t)=v(t)\))
なので、\(x(t)\)は不定積分を用いて
\(x(t)=\displaystyle\int v(t)dt\)
と表されます。よって\(v(t)\)の原始関数の1つが\(x(t)\)となるので、\(t=α\) から \(t=β\) までの\(P\)の位置の変化は

\(x(β)-x(α)=\displaystyle\int_{α}^{β}v(t)dt\)・・・①

となり、これを点\(P\)の位置の変化量とよびます。また①を変形すると

\(x(β)=x(α)+\displaystyle\int_{α}^{β}v(t)dt\)・・・②

となり、\(t=β\) における\(P\)の位置は \(t=α\) における位置と定積分を用いて求めることができます。

①の右辺の定積分は正の値、負の値、値\(0\) のいずれもとり得り、例えば座標が \(1 \to 3 \to 1\) と動く場合と\(1\)にとどまる場合ではいずれも変化量が\(0\)で等しくなります。そこでこれらを区別するために実際に動いた総距離(道のり)を定義します。

\(v(t)≧0\) が常に成り立つ\(t\)の範囲では\(P\)は常に正方向(右方向)に動くので移動距離は \(x(β)-x(α)\ (≧0)\)、\(v(t)≦0\) が常に成り立つ\(t\)の範囲では常に負の方向(左方向)に動くので移動距離は \(-\{x(β)-x(α)\}\ (≧0)\) となります。

したがって \(t=α\) から \(t=β\) までの道のり\(L\)は絶対値を用いて次のように表されます。
\(L=\displaystyle\int_{α}^{β}|v(t)|dt\)

(例題)
数直線上を運動する点\(P\)があり、点\(P\)は時刻 \(t=0\) のとき原点にあり、時刻\(t\)における速度は \(v=(1-t)e^{-t}\) である。

(1)時刻 \(t=2\) における点\(P\)の\(x\)座標を求めよ。
(2)時刻 \(t=0\) から \(t=2\) までの点\(P\)の道のりを求めよ。

(解答)
\(P\)の時刻\(t\)における座標を \(x(t)\) とおく。

(1)
\(x(2)=x(0)+\displaystyle\int_{0}^{2}(1-t)e^{-t}dt\)

\(=0+\left[-(1-t)e^{-t}\right]_{0}^{2}+\displaystyle\int_{0}^{2}(-1)\cdot e^{-t}dt\)

\(=e^{-2}+1+[e^{-t}]_{0}^{2}\)

\(=2e^{-2}\)

※\(x(t)\)を求めると
\(x(t)=\displaystyle\int(1-t)e^{-t}dt\)
\(=-(1-t)e^{-t}+e^{-t}+C\)
\(=te^{-t}+C\)・・・(ア)

\(x(0)=0\) より \(C=0\) と決定できるから
\(x(t)=te^{-t}\)

(2)
道のり\(L\)は
\(L=\displaystyle\int_{0}^{2}|(1-t)e^{-t}|dt\)

\(=\displaystyle\int_{0}^{1}(1-t)e^{-t}dt+\displaystyle\int_{1}^{2}(t-1)e^{-t}dt\)

(アより)
\(=[te^{-t}]_{0}^{1}+[-te^{-t}]_{1}^{2}\)

\(=e^{-1}-2e^{-2}+e^{-1}\)

\(=2(e^{-1}-e^{-2})\)

以上になります。お疲れさまでした。
ここまで見て頂きありがとうございました。
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