ほどける糸と曲線の長さ

ほどける糸の端点の描く曲線についての例題です。

(例題1)
原点を\(O\)とし、平面上の2点 \(A(0,1)\)、\(B(0,2)\) をとる。\(OB\)を直径とし点 \((1,1)\) を通る半円を\(Γ\)とする。長さ\(π\)の糸が一端を\(O\)に固定して、\(Γ\)に巻きつけてある。この糸の他端\(P\)を引き、それが\(x\)軸に到達するまで、ゆるむことなくほどいてゆく。糸と半円との接点を\(Q\)とし \(\angle BAQ\) の大きさを\(t\)とする(図を参照)。

(1)ベクトル \(\overrightarrow{OP}\) を\(t\)を用いて表せ。
(2)\(P\)が描く曲線の弧長を求めよ。

(解答)
(1)

(\(\overrightarrow{AQ}\)については、\(B\)まで左回転で\(\displaystyle\frac{π}{2}\)、右回転で\(t\)なので、表す角は \(\displaystyle\frac{π}{2}-t\) です)

\(|\overrightarrow{QP}|=\stackrel{\huge\frown}{QB}=1\cdot t=t\)
また、図の 角\(×=π-t\) は等しいので

\(\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AQ}+\overrightarrow{QP}\)

\(=(0,1)+(\cos(\displaystyle\frac{π}{2}-t),\ \sin(\displaystyle\frac{π}{2}-t))+t(\cos(π-t),\ \sin(π-t))\)

\(=(0,1)+(\sin t,\ \cos t)+t(-\cos t,\ \sin t)\)

\(=(\sin t-t\cos t,\ 1+\cos t+t\sin t)\)

(2)

\(t\)の範囲は、\(0≦t≦π\)

(1)より、\(P(x,y)\)の成分は
\(x=\sin t-t\cos t\)
\(y=1+\cos t+t\sin t\)
であるから

\(\displaystyle\frac{dx}{dt}=\cos t-\cos t+t\sin t=t\sin t\)
\(\displaystyle\frac{dy}{dt}=-\sin t+\sin t+t\cos t=t\cos t\)

\((\displaystyle\frac{dx}{dt})^2+(\displaystyle\frac{dy}{dt})^2\)
\(=t^2(\sin^2t+\cos^2t)\)
\(=t^2\)

よって弧長\(L\)は
\(L=\displaystyle\int_{0}^{π}\sqrt{t^2}dt\)
\(=\displaystyle\int_{0}^{π}t dt\)
\(=\left[\displaystyle\frac{1}{2}t^2\right]_{0}^{π}\)
\(=\displaystyle\frac{1}{2}π^2\)

(例題2)
関数 \(f(x)=\displaystyle\frac{e^{x}+e^{-x}}{2}\) のグラフを\(C\)とする。図のように、先端を\(P\)とする糸を、\(C\)上の点 \(R(-1,f(-1))\) を始点として、\(C\)にそって\(C\)の右側に巻きつけてある。この糸の先端\(P\)を引き、ゆるむことなくほどいていき、\(C\)と糸が接触している部分のうち左端を点\(Q\)とする。

(1)\(Q\)の\(x\)座標を\(t\)とおくとき、\(\overrightarrow{OP}\)の\(y\)成分を\(t\)で表せ。
(2)糸をほどいていくと、\(P\)の\(y\)座標はどのような値に近づくか。

(解答)
(1)

\(f(x)=\displaystyle\frac{e^{x}+e^{-x}}{2}\) より

\(f'(x)=\displaystyle\frac{e^{x}-e^{-x}}{2}\)

弧長\(RQ\)を\(L(t)\)とおくと
\(PQ=L(t)\)
\(=\displaystyle\int_{-1}^{t}\sqrt{1+\{f'(x)\}^2}dx\)
\(=\displaystyle\int_{-1}^{t}\sqrt{\displaystyle\frac{(e^{x}+e^{-x})^2}{4}}dx\)
\(=\displaystyle\int_{-1}^{t}\displaystyle\frac{e^{x}+e^{-x}}{2}dx\)
\(=\left[\displaystyle\frac{e^{x}-e^{-x}}{2}\right]_{-1}^{t}\)
\(=\displaystyle\frac{e^{t}-e^{-t}}{2}-\displaystyle\frac{e^{-1}-e}{2}\)

また、\(QP\)方向のベクトルの1つは \(-(1,f'(t))\) だから、 \(QP\)方向の単位ベクトルは
\(-\displaystyle\frac{1}{\sqrt{1+\{f'(t)\}^2}}(1,f'(t))\)

よって
\(\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OQ}+\overrightarrow{QP}\)
\(=(t,f(t))-\displaystyle\frac{L(t)}{\sqrt{1+\{f'(t)\}^2}}(1,f'(t))\)

したがって\(\overrightarrow{OP}\)の\(y\)成分は
\(y=f(t)-\displaystyle\frac{L(t)}{\sqrt{1+\{f'(t)\}^2}}\cdot f'(t)\)

\(=\displaystyle\frac{e^{t}+e^{-t}}{2}-\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{e^{t}-e^{-t}}{2}-\displaystyle\frac{e^{-1}-e}{2}}{\displaystyle\frac{e^{t}+e^{-t}}{2}}\cdot\displaystyle\frac{e^{t}-e^{-t}}{2}\)

\(=\displaystyle\frac{e^{t}+e^{-t}}{2}-\displaystyle\frac{(e^{t}-e^{-t})^2}{2(e^{t}+e^{-t})}+\displaystyle\frac{e^{-1}-e}{2}\cdot\displaystyle\frac{e^{t}-e^{-t}}{e^{t}+e^{-t}}\)

\(=\displaystyle\frac{4}{2(e^{t}+e^{-t})}+\displaystyle\frac{e^{-1}-e}{2}\cdot\displaystyle\frac{e^{t}-e^{-t}}{e^{t}+e^{-t}}\)

\(=\displaystyle\frac{2}{e^{t}+e^{-t}}+\displaystyle\frac{1}{2}(\displaystyle\frac{1}{e}-e)\cdot\displaystyle\frac{e^{t}-e^{-t}}{e^{t}+e^{-t}}\)

(極限を求めやすいようにこの形を答えにします)

(2)

(1)より
\(\displaystyle\lim_{t \to \infty}y\)
\(=\displaystyle\lim_{t \to \infty}\left\{\displaystyle\frac{2}{e^{t}+e^{-t}}+\displaystyle\frac{1}{2}(\displaystyle\frac{1}{e}-e)\cdot\displaystyle\frac{e^{t}-e^{-t}}{e^{t}+e^{-t}}\right\}\)

(分数型の極限は次数が最高のもので割るのが基本)

\(=\displaystyle\lim_{t \to \infty}\left\{\displaystyle\frac{2}{e^{t}+e^{-t}}+\displaystyle\frac{1}{2}(\displaystyle\frac{1}{e}-e)\cdot\displaystyle\frac{1-e^{-2t}}{1+e^{-2t}}\right\}\)

\(=\displaystyle\frac{1}{2}(\displaystyle\frac{1}{e}-e)\)

よって、\(\displaystyle\frac{1}{2}(\displaystyle\frac{1}{e}-e)\) に近づく。

以上になります。お疲れさまでした。
ここまで見て頂きありがとうございました。
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