指数方程式 | 教えて数学理科

指数方程式の解き方について見ていきます。

式を見やすくするために置き換えをしたり、
指数の相等「\(a^p=a^q\)　\(⇔\)　\(p=q\)」 (単純に指数を比較してよい)を使っていきます。
それと置き換えた場合、\(a^x>0\) (正の実数)　となることもおさえておきましょう。

(例題1)次の方程式を解け。
(1)\(2^{1-x}=4\sqrt{2}\)
(2)\(16^{x^2}8^x=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}\)
(3)\(2^{3-\frac{x}{4}}+31\cdot2^{-\frac{x}{8}}-4=0\)
(4)\(27^{x+1}+26\cdot9^x-3^x=0\)

(解答)
(1)
(底\(2\)にそろえる)

\(2^{1-x}=4\sqrt{2}\) より
\(2^{1-x}=2^{2+\frac{1}{2}}\)
\(2^{1-x}=2^{\frac{5}{2}}\)

よって
\(1-x=\displaystyle\frac{5}{2}\)
\(x=-\displaystyle\frac{3}{2}\)

(2)
(底\(2\)にそろえる)

\(16^{x^2}8^x=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}\) より
\((2^4)^{x^2}\cdot(2^3)^x=2^{-\frac{1}{2}}\)
\(2^{4x^2}\cdot2^{3x}=2^{-\frac{1}{2}}\)
\(2^{4x^2+3x}=2^{-\frac{1}{2}}\)

よって
\(4x^2+3x=-\displaystyle\frac{1}{2}\)
\(8x^2+6x+1=0\)
\((4x+1)(2x+1)=0\)

\(x=-\displaystyle\frac{1}{4},-\displaystyle\frac{1}{2}\)

(3)

\((2^{-\frac{x}{8}})^2=2^{-\frac{x}{4}}\) になることに着目して、式を分かりやすくするために、\(2^{-\frac{x}{8}}=t\) と置き換えをします。ただし \(t>0\) に注意します。

\(2^{3-\frac{x}{4}}+31\cdot2^{-\frac{x}{8}}-4=0\) より
\(2^3\cdot2^{-\frac{x}{4}}+31\cdot2^{-\frac{x}{8}}-4=0\)

\(2^{-\frac{x}{8}}=t\) \((t>0)\) とおくと
\(2^{-\frac{x}{4}}=t^2\) だから

\(8t^2+31t-4=0\)
\((8t-1)(t+4)=0\)
\(t>0\) より \(t=\displaystyle\frac{1}{8}\)

\(t=2^{-\frac{x}{8}}\) に戻して、\(x\)を求めます。

したがって
\(2^{-\frac{x}{8}}=\displaystyle\frac{1}{8}\)
\(2^{-\frac{x}{8}}=2^{-3}\)
\(-\displaystyle\frac{x}{8}=-3\)
\(x=24\)

(4)

(3)と同様に置き換えをします。

\(27^{x+1}+26\cdot9^x-3^x=0\) より
\(27^{x}\cdot27^{1}+26\cdot3^{2x}-3^x=0\)
\(3^{3x}\cdot27+26\cdot3^{2x}-3^x=0\)

\(3^x=t\) (\(t>0\)) とおくと

\(27t^3+26t^2-t=0\)
\(t(27t^2+26t-1)=0\)
\(t(27t-1)(t+1)=0\)

\(t>0\) より \(t=\displaystyle\frac{1}{27}\)

\(3^x=\displaystyle\frac{1}{27}\)
\(3^x=3^{-3}\)

よって
\(x=-3\)

(例題2) 次の連立方程式を解け。
(1)
\(4^{2x-y}=8^{x+y-1}\)
\(3^{3x+y}=27\)

(2)
\(3^{2x}-3^{y}=-6\)
\(3^{2x+y}=27\)

(解答)
(1)

それぞれ底を2,3に統一できるので指数比較をすることで、\(x,y\)の等式を立てます。

\(4^{2x-y}=8^{x+y-1}\)
\(3^{3x+y}=27\)　より

\(2^{4x-2y}=2^{3x+3y-3}\)
\(3^{3x+y}=3^3\)

よって指数を比較して
\(4x-2y=3x+3y-3\)
\(3x+y=3\)

\(x-5y=-3\)・・・①
\(3x+y=3\)・・・②

①②を解くと
\(x=\displaystyle\frac{3}{4}\),　\(y=\displaystyle\frac{3}{4}\)

(2)

2式に、\(3^{2x}\) と \(3^y\) が共通しているので、それぞれ \(X,Y\) と置き換えることで式を見やすくします。

\(3^{2x}-3^{y}=-6\)
\(3^{2x+y}=27\)　より

\(3^{2x}-3^{y}=-6\)
\(3^{2x}\cdot3^{y}=27\)

\(3^{2x}=X(>0)\),　\(3^{y}=Y(>0)\) とおくと

\(X-Y=-6\)・・・③
\(XY=27\)・・・④

③より \(X=Y-6\) を④に代入して
\((Y-6)Y=27\)
\(Y^2-6Y-27=0\)
\((Y-9)(Y+3)=0\)

\(Y>0\) より \(Y=9\)
③より \(X=3(>0)\)

よって
\(3^{2x}=3\)
\(3^{y}=9\)

\(x=\displaystyle\frac{1}{2}\),　\(y=2\)

(別解)

2つ目の式 \(3^{2x+y}=27\) より、\(2x+y=3\) と分かるので、これを1つ目の式に代入して1文字消去します。

\(3^{2x}-3^{y}=-6\)・・・(i)
\(3^{2x+y}=27\)・・・(ii)

(ii)より
\(3^{2x+y}=3^3\)
\(2x+y=3\)・・・(iii)

(iii) \(y=-2x+3\) を(i)に代入して

\(3^{2x}-3^{-2x+3}=-6\)
\(3^{2x}-3^{-2x}\cdot3^3=-6\)

\(3^{2x}=t(>0)\) とおくと
\(t-\displaystyle\frac{27}{t}=-6\)
両辺\(t\)倍して整理すると
\(t^2+6t-27=0\)
\((t-3)(t+9)=0\)
\(t>0\) より \(t=3\)

\(3^{2x}=3\)
\(x=\displaystyle\frac{1}{2}\)

(iii)より
\(y\)\(=-2\cdot\displaystyle\frac{1}{2}+3\)\(=2\)

以上になります。お疲れさまでした。
ここまで見て頂きありがとうございました。
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