引き続き対数の計算について見ていきます。
(例題1)
\(\log_{2}3=a\), \(\log_{3}7=b\) とするとき
(1)\(\log_{2}7\) を \(a,b\) で表せ。
(2)\(\log_{21}56\), \(\log_{\frac{2}{7}}\displaystyle\frac{49}{12}\) を \(a,b\) で表せ。
(1)
\(\log_{2}7\)
\(=\displaystyle\frac{\log_{3}7}{\log_{3}2}\)
\(=(\log_{3}7)\cdot(\log_{2}3)\) (底と真数を入れ替えると逆数)
\(=ab\)
(2)
\(\log_{2}7=ab\) と \(\log_{2}3=a\) を用いるために、底を2にします。
(底3にしても解けますが、それだと(1)の誘導を無視した解法になるので避けました)
\(\log_{21}56\)
\(=\displaystyle\frac{\log_{2}56}{\log_{2}21}\)
\(=\displaystyle\frac{\log_{2}7+\log_{2}2^3}{\log_{2}7+\log_{2}3}\)
\(=\displaystyle\frac{ab+3}{ab+a}\)
\(\log_{\frac{2}{7}}\displaystyle\frac{49}{12}\)
\(=\displaystyle\frac{\log_{2}\displaystyle\frac{49}{12}}{\log_{2}{\displaystyle\frac{2}{7}}}\)
\(=\displaystyle\frac{\log_{2}49-\log_2{12}}{1-\log_{2}7}\)
\(=\displaystyle\frac{2\log_{2}7-(\log_{2}2^2+\log_{2}3)}{1-\log_{2}7}\)
\(=\displaystyle\frac{2\log_{2}7-2-\log_{2}3}{1-\log_{2}7}\)
\(=\displaystyle\frac{2ab-a-2}{1-ab}\)
(例題2)
\(a,b,c\) を \(1\) でない正の数とし、
\(\log_{a}b+\log_{b}c+\log_{c}a=\displaystyle\frac{1}{2}\)
\(\log_{b}a+\log_{c}b+\log_{a}c=-\displaystyle\frac{5}{2}\)
とする。このとき次の式の値を求めよ。
(1) \((\log_{a}b)(\log_{b}c)(\log_{c}a)\)
(2) \((\log_{a}b)^2+(\log_{b}c)^2+(\log_{c}a)^2\)
(3) \((\log_{b}a)^3+(\log_{c}b)^3+(\log_{a}c)^3\)
この問題に表れる式は、
\(\log_{a}b=x\), \(\log_{b}c=y\), \(\log_{c}a=z\) とおけば、\(x,y,z\) の対称式になっています。任意の対称式は基本対称式で表されるので、基本対称式
\(x+y+z\), \(xy+yz+zx\), \(xyz\) 3つの値を求めることから始めます。
(解答)
(1)
\(x+y+z=\displaystyle\frac{1}{2}\)
\(\displaystyle\frac{1}{x}+\displaystyle\frac{1}{y}+\displaystyle\frac{1}{z}=\displaystyle\frac{xy+yz+zx}{xyz}=-\displaystyle\frac{5}{2}\)
よって、\(xy+yz+zx\), \(xyz\) のどちらかが分かれば3つの値すべてが分かることになりますが、\(xyz\)は底の変換公式によって具体的に計算できます。((1)の誘導です)
(底を\(a\)に揃えると)
\((\log_{a}b)(\log_{b}c)(\log_{c}a)\)
\(=\log_{a}b\cdot\displaystyle\frac{\log_{a}c}{\log_{a}b}\cdot\displaystyle\frac{\log_{a}a}{\log_{a}c}\)
\(=1\)
(2)
\(\log_{a}b=x\), \(\log_{b}c=y\), \(\log_{c}a=z\) とおくと条件式より
\(x+y+z=\displaystyle\frac{1}{2}\)・・・①
\(\displaystyle\frac{1}{x}+\displaystyle\frac{1}{y}+\displaystyle\frac{1}{z}=\displaystyle\frac{xy+yz+zx}{xyz}=-\displaystyle\frac{5}{2}\)・・・(A)
(1)より \(xyz=1\)・・・② だから、(A)より
\(xy+yz+zx=-\displaystyle\frac{5}{2}\)・・・③
したがって
\((\log_{a}b)^2+(\log_{b}c)^2+(\log_{c}a)^2\)
\(=x^2+y^2+z^2\)
\(=(x+y+z)^2-2(xy+yz+zx)\)
\(=(\displaystyle\frac{1}{2})^2-2\cdot(-\displaystyle\frac{5}{2})\)
\(=\displaystyle\frac{21}{4}\)
(3)
\(\displaystyle\frac{1}{x}+\displaystyle\frac{1}{y}+\displaystyle\frac{1}{z}\), \(\displaystyle\frac{1}{xy}+\displaystyle\frac{1}{yz}+\displaystyle\frac{1}{zx}\), \(\displaystyle\frac{1}{xyz}\) の3つを求めるところから始めます。
1つ目と3つ目は既に分かってるので、2つ目を計算します。
\(x+y+z=\displaystyle\frac{1}{2}\), \(xyz=1\) より
\(\displaystyle\frac{1}{xy}+\displaystyle\frac{1}{yz}+\displaystyle\frac{1}{zx}\)
\(=\displaystyle\frac{x+y+z}{xyz}\)
\(=\displaystyle\frac{1}{2}\)・・・(i)
\(\displaystyle\frac{1}{xyz}=1\)・・・(ii)
また、(2)の(A)より
\(\displaystyle\frac{1}{x}+\displaystyle\frac{1}{y}+\displaystyle\frac{1}{z}=-\displaystyle\frac{5}{2}\)・・・(iii)
\(X^3+Y^3+Z^3=(X+Y+Z)(X^2+Y^2+Z^2-XY-YZ-ZX)+3XYZ\)
を利用します。
\((\displaystyle\frac{1}{x}+\displaystyle\frac{1}{y}+\displaystyle\frac{1}{z})^3\) で考えても解けますが、計算が大変でややこしいです。
よって
\((\log_{b}a)^3+(\log_{c}b)^3+(\log_{a}c)^3\)
\(=\displaystyle\frac{1}{x^3}+\displaystyle\frac{1}{y^3}+\displaystyle\frac{1}{z^3}\)
\(=(\displaystyle\frac{1}{x}+\displaystyle\frac{1}{y}+\displaystyle\frac{1}{z})(\displaystyle\frac{1}{x^2}+\displaystyle\frac{1}{y^2}+\displaystyle\frac{1}{z^2}-\displaystyle\frac{1}{xy}-\displaystyle\frac{1}{yz}-\displaystyle\frac{1}{zx})\)\(+\displaystyle\frac{3}{xyz}\)
\(=(\displaystyle\frac{1}{x}+\displaystyle\frac{1}{y}+\displaystyle\frac{1}{z})\{(\displaystyle\frac{1}{x}+\displaystyle\frac{1}{y}+\displaystyle\frac{1}{z})^2-3(\displaystyle\frac{1}{xy}+\displaystyle\frac{1}{yz}+\displaystyle\frac{1}{zx})\}\)\(+\displaystyle\frac{3}{xyz}\)
\(=(-\displaystyle\frac{5}{2})\cdot\{(-\displaystyle\frac{5}{2})^2-3\cdot\displaystyle\frac{1}{2}\}+3\)
\(=-\displaystyle\frac{71}{8}\)
※この問題に関しては、\(x,y,z\)の値を具体的に求めることができます。
3次方程式の解と係数の関係から
\(x+y+z=\displaystyle\frac{1}{2}\)・・・①
\(xyz=1\)・・・②
\(xy+yz+zx=-\displaystyle\frac{5}{2}\)・・・③
より、\(x,y,z\) は3次方程式
\(t^3-\displaystyle\frac{1}{2}t^2-\displaystyle\frac{5}{2}t-1=0\)
の3つの解です。これを解くと
\((t+1)(t-2)(t+\displaystyle\frac{1}{2})=0\)
より
\(x,y,z\) は、\(-1,2,-\displaystyle\frac{1}{2}\) (順不同)
よってこれらの値をダイレクトに代入しても(2)(3)は解けます。
仮に3次方程式が解けない場合でも(2)は本解答のように解くとして、(3)については途中までは解答と同じように
\(\displaystyle\frac{1}{xy}+\displaystyle\frac{1}{yz}+\displaystyle\frac{1}{zx}=\displaystyle\frac{1}{2}\)・・・(i)
\(\displaystyle\frac{1}{xyz}=1\)・・・(ii)
\(\displaystyle\frac{1}{x}+\displaystyle\frac{1}{y}+\displaystyle\frac{1}{z}=-\displaystyle\frac{5}{2}\)・・・(iii)
と導けば、\(\displaystyle\frac{1}{x},\displaystyle\frac{1}{y},\displaystyle\frac{1}{z}\) を解とする3次方程式は
\(p^3+\displaystyle\frac{5}{2}p^2+\displaystyle\frac{1}{2}p-1=0\)
であり、\(p=\displaystyle\frac{1}{x},\displaystyle\frac{1}{y},\displaystyle\frac{1}{z}\) を代入するともちろんこの等式は成り立つので
\(\displaystyle\frac{1}{x^3}+\displaystyle\frac{5}{2}\cdot\displaystyle\frac{1}{x^2}+\displaystyle\frac{1}{2}\cdot\displaystyle\frac{1}{x}-1=0\)
\(\displaystyle\frac{1}{y^3}+\displaystyle\frac{5}{2}\cdot\displaystyle\frac{1}{y^2}+\displaystyle\frac{1}{2}\cdot\displaystyle\frac{1}{y}-1=0\)
\(\displaystyle\frac{1}{z^3}+\displaystyle\frac{5}{2}\cdot\displaystyle\frac{1}{z^2}+\displaystyle\frac{1}{2}\cdot\displaystyle\frac{1}{z}-1=0\)
あとはこの3等式の和をとれば、\(\displaystyle\frac{1}{x^3}+\displaystyle\frac{1}{y^3}+\displaystyle\frac{1}{z^3}\) の値が出ます。(2乗の和のほうは簡単に計算できる)
以上になります。お疲れさまでした。
ここまで見て頂きありがとうございました。
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