対数の性質の公式や、底の変換公式を駆使した計算問題について見ていきます。
\(M,N\)を正の数、\(a\)を\(1\)でない正の数、\(r\)を実数とするとき
(1)\(\log_{a}MN=\log_{a}M+\log_{a}N\) (積→和)
(2)\(\log_{a}\displaystyle\frac{M}{N}=\log_{a}M-\log_{a}N\) (商→差)
(3)\(\log_{a}M^{r}=r\log_{a}M\) (r乗→r倍)
底が同じ場合には、この3つを利用します。
(1)積は和に(その逆:和は積に)、(2)商は差に(その逆:差は商に) (3)右上の指数は前に出せる(その逆:掛けた数は指数にもってこれる)
(例題1)次の式を簡単にせよ。
(1)\(\log_{9}\displaystyle\frac{9}{5}+2\log_{9}\sqrt{15}\)
(2)\(\displaystyle\frac{1}{2}\log_{3}\displaystyle\frac{1}{2}-\displaystyle\frac{3}{2}\log_{3}\sqrt[3]{12}+\log_{3}\sqrt{8}\)
(解答)
(1)
\(\log_{9}\displaystyle\frac{9}{5}+2\log_{9}\sqrt{15}\)
\(=\log_{9}\displaystyle\frac{9}{5}+\log_{9}(\sqrt{15})^2\)
\(=\log_{9}\displaystyle\frac{9}{5}+\log_{9}15\)
(和の形は真数の積になるので)
\(=\log_{9}\displaystyle\frac{9}{5}\cdot15\)
\(=\log_{9}27\)
\(=\log_{9}3^3\)
\(=\log_{9}9^{\frac{3}{2}}\)
\(=\displaystyle\frac{3}{2}\)
(別解)
\(\log_{9}\displaystyle\frac{9}{5}+2\log_{9}\sqrt{15}\)
\(=\log_{9}\displaystyle\frac{9}{5}+\log_{9}15\)
(真数の商と積の形を差と和にしてバラバラにすると)
\(=\log_{9}\displaystyle\frac{9}{5}+\log_{9}(3\cdot5)\)
\(=(\log_{9}9-\log_{9}5)+(\log_{9}3+\log_{9}5)\)
\(=\log_{9}9+\log_{9}3\)
\(=1+\log_{9}9^{\frac{1}{2}}\)
\(=\displaystyle\frac{3}{2}\)
(2)
また別解では2つ目の解法と同様に、積と商をそれぞれ和と差にします。
\(\displaystyle\frac{1}{2}\log_{3}\displaystyle\frac{1}{2}-\displaystyle\frac{3}{2}\log_{3}\sqrt[3]{12}+\log_{3}\sqrt{8}\)
\(=\log_{3}(\displaystyle\frac{1}{2})^{\frac{1}{2}}-\log_{3}(\sqrt[3]{12})^{\frac{3}{2}}+\log_{3}\sqrt{8}\)
\(=\log_{3}\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}-\log_{3}\sqrt{12}+\log_{3}\sqrt{8}\)
\(\log_{a}x+\log_{a}y+\log_{a}z\)
\(=\log_{a}xy+\log_{a}z\)
\(=\log_{a}xyz\)
とまとめて計算できます。差の場合も同様で、そこだけ逆数になるだけです。
\(=\log_{3}(\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot\displaystyle\frac{1}{\sqrt{12}}\cdot\sqrt{8})\)
\(=\log_{3}\displaystyle\frac{1}{\sqrt{3}}\)
\(=\log_{3}3^{-\frac{1}{2}}\)
\(=-\displaystyle\frac{1}{2}\)
(別解)
(まずは累乗根をすべて無くす方向で)
\(\displaystyle\frac{1}{2}\log_{3}\displaystyle\frac{1}{2}-\displaystyle\frac{3}{2}\log_{3}\sqrt[3]{12}+\log_{3}\sqrt{8}\)
\(=\displaystyle\frac{1}{2}\log_{3}2^{-1}-\displaystyle\frac{1}{2}\log_{3}12+\log_{3}2^{\frac{3}{2}}\)
\(=-\displaystyle\frac{1}{2}\log_{3}2-\displaystyle\frac{1}{2}(\log_{3}2^2+\log_{3}3)+\displaystyle\frac{3}{2}\log_{3}2\)
\(=-\displaystyle\frac{1}{2}\log_{3}2-\log_{3}2-\displaystyle\frac{1}{2}\log_{3}3+\displaystyle\frac{3}{2}\log_{3}2\)
\(=-\displaystyle\frac{1}{2}\log_{3}3\)
\(=-\displaystyle\frac{1}{2}\)
(例題2)次の計算をせよ。
(1)\(\log_{2}25-2\log_{4}10-3\log_{8}10\)
(2)\(\log_{3}5\cdot\log_{5}7\cdot\log_{7}3\)
(3)\((\log_{3}4+\log_{9}4)(\log_{2}27-\log_{4}9)\)
そろえる底はなるべく小さいものにするのが1つの目安です。
(底の変換公式)
\(\log_{a}b=\displaystyle\frac{\log_{c}b}{\log_{c}a}\)
とくに \(c=b\) とすれば
\(\log_{a}b=\displaystyle\frac{1}{\log_{b}a}\) (底と真数を入れ替えると逆数になる)
(解答)
(1)
(底を2に揃えると)
\(\log_{2}25-2\log_{4}10-3\log_{8}10\)
\(=\log_{2}25-2\cdot\displaystyle\frac{\log_{2}10}{\log_{2}4}-3\cdot\displaystyle\frac{\log_{2}10}{\log_{2}8}\)
\(=\log_{2}25-\log_{2}10-\log_{2}10\)
\(=\log_{2}(\displaystyle\frac{25}{10\cdot10})\)
\(=\log_{2}\displaystyle\frac{1}{4}\)
\(=-2\)
(2)
(底を3に揃えると)
\(\log_{3}5\cdot\log_{5}7\cdot\log_{7}3\)
\(=\log_{3}5\cdot\displaystyle\frac{\log_{3}7}{\log_{3}5}\cdot\displaystyle\frac{\log_{3}3}{\log_{3}7}\)
\(=1\)
\(\log_{a}b\cdot\log_{b}c\cdot\log_{c}a=1\)
(a→b→c→a と底・真数がループしている積)
(3)
(底を3に揃えると)
\((\log_{3}4+\log_{9}4)(\log_{2}27-\log_{4}9)\)
\(=(\log_{3}4+\displaystyle\frac{\log_{3}4}{\log_{3}9})(\displaystyle\frac{\log_{3}27}{\log_{3}2}-\displaystyle\frac{\log_{3}9}{\log_{3}4})\)
\(=(\log_{3}4+\displaystyle\frac{\log_{3}4}{2})(\displaystyle\frac{3}{\log_{3}2}-\displaystyle\frac{2}{2\log_{3}2})\)
\(=\displaystyle\frac{3\log_{3}2^2}{2}\cdot\displaystyle\frac{2}{\log_{3}2}\)
\(=6\)
以上になります。お疲れさまでした。
ここまで見て頂きありがとうございました。
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