引き続き対数関数の最大最小問題について見ていきます。
今回は主に2変数関数の問題を扱います。
(例題1)
(1)\(x>0\), \(y>0\), \(x+2y=8\) のとき、
\(\log_{10}x+\log_{10}y\) の最大値を求めよ。
(2)\(x^2y=8\), \(x≧1\), \(y≧1\) のとき、
\(z=(\log_{2}x)(\log_{2}y)\) の最大値と最小値を求めよ。
(解答)
(1)
ただし消去する際に範囲を求めることを忘れずに。
\(x+2y=8\) より
\(x=8-2y\)・・・①
ここで、\(x>0\) だから①より \(8-2y>0\)
\(y>0\) とあわせて \(0<y<4\)
\(\log_{10}x+\log_{10}y\)
\(=\log_{10}(8-2y)+\log_{10}y\)
\(=\log_{10}(8-2y)y\)
\(=\log_{10}(-2y^2+8y)\)
\(=\log_{10}\{-2(y-2)^2+8\}\)
底は\(10\)なので、真数が最大値をとるときを考えて
\(y=2\) のとき 最大値 \(\log_{10}8=3\log_{10}2\)
このとき \(x=8-2\cdot2=4\)
答 最大値 \(3\log_{10}2\) (\(x=4\), \(y=2\))
(2)
\(z\)が\(\log\)で表されているので、\(\log\)に統一するため \(x^2y=8\) の 両辺対数をとります。
\(x^2y=8\) の両辺で底を\(2\)とする対数をとって
\(2\log_{2}x+\log_{2}y=3\)
よって
\(\log_{2}y=3-2\log_{2}x\)・・・②
ここで
\(y≧1\) だから、\(\log_{2}y≧0\)
②より
\(3-2\log_{2}x≧0\)
\(\log_{2}x≦\displaystyle\frac{3}{2}\)
\(x≧1\) より \(\log_{2}x≧0\) と合わせて
\(0≦\log_{2}x≦\displaystyle\frac{3}{2}\)・・・③
\(z=(\log_{2}x)(\log_{2}y)\)
\(=(\log_{2}x)(3-2\log_{2}x)\)
(以下 \(\log_{2}x=X\) (\(0≦X≦\displaystyle\frac{3}{2}\)) とする)
\(=X(3-2X)\)
\(=-2X^2+3X\)
\(=-2(X-\displaystyle\frac{3}{4})^2+\displaystyle\frac{9}{8}\)
最小値は
\(X=\displaystyle\frac{3}{4}\) のとき \(\displaystyle\frac{9}{8}\)
このとき \(\log_{2}x=\displaystyle\frac{3}{4}\) より
\(x\)\(=2^{\frac{3}{4}}\)\(=\sqrt[4]{8}\)
②より \(\log_{2}y=3-2\cdot\displaystyle\frac{3}{4}=\displaystyle\frac{3}{2}\) だから
\(y\)\(=2^{\frac{3}{2}}\)\(=2\sqrt{2}\)
最大値は
(ア)\(X=0\) または (イ)\(X=\displaystyle\frac{3}{2}\) のとき \(0\)
(ア)
\(\log_{2}x=0\) より \(x=1\)
②から \(\log_{2}y=3-2\cdot0=3\) より \(y=8\)
(イ)
\(\log_{2}x=\displaystyle\frac{3}{2}\) より \(x=2\sqrt{2}\)
②から \(\log_{2}y=3-2\cdot\displaystyle\frac{3}{2}=0\) より \(y=1\)
(例題2)
\(\log_{2}x+\log_{2}y=3\) のとき \(x^2+y^2\) の最小値を求めよ。
\(x^2+y^2=x^2+\displaystyle\frac{64}{x^2}\)
文字については逆数の和の形になっているので相加相乗平均を使うとしてもよいですが、最初から相加相乗平均を使った方が早いです。
(解答)
真数条件から、\(x>0\), \(y>0\)
\(\log_{2}x+\log_{2}y=3\) より
\(\log_{2}xy=\log_{2}8\)
\(xy=8\)
\(x^2>0\), \(y^2>0\) だから、相加相乗平均の不等式より
\(x^2+y^2≧2\sqrt{x^2y^2}=2|xy|=16\)
等号は \(x^2=y^2\) のときで、\(x>0\), \(y>0\) より
\(x=y\)
\(xy=8\) より \(x^2=8\)
\(x=2\sqrt{2}(=y)\)
最小値 \(16\) \((x=y=2\sqrt{2})\)
(例題3)
次の等式が成り立っている。
\((\log_{a}x)^2+(\log_{a}y)^2\)\(=\log_{a}x^2+(\log_{a}x)(\log_{a}y)+\log_{a}y^2\)
このとき積\(xy\)の最大値および最小値を求めよ。ただし\(a\)は定数である。
(解答)
底と真数条件から
\(0<a<1\) または \(a>1\)
\(x>0\), \(y>0\)
\(\log_{a}x=X\), \(\log_{a}y=Y\) とおくと条件式は
\(X^2+Y^2=2X+XY+2Y\)・・・①
\(\log_{a}x^2=2\log_{a}|x|\)
です。
\(\log_{a}xy=X+Y\) だから
①の条件のもとで、\(X+Y\) の最大値,最小値を考えればよい。
今までの問題のように、\(X,Y\)を素直に動かして\(k\)の範囲を求める(\(X,Y\)に対応する\(k\)を探す)ことが困難なのでこのような手法をとっているわけです。
なお、実数\(X\)が存在することを確認できれば、\(k\)は実数として範囲がでてくるので、\(X+Y=k\) より \(Y\)も実数となることが確認できます。
\(X+Y=k\) とおくと
\(Y=k-X\)・・・②
①に②を代入して
\(X^2+(k-X)^2=2k+X(k-X)\)
整理すると
\(3X^2-3kX+k^2-2k=0\)・・・③
③を満たす実数\(X\)が存在すればよいので
\(D=9k^2-12(k^2-2k)≧0\)
\(3k(k-8)≦0\)
\(0≦k≦8\) (このとき\(Y\)も実数)
よって
\(0≦X+Y≦8\)
\(0≦\log_{a}xy≦8\)
\(\log_{a}1≦\log_{a}xy≦\log_{a}a^8\)・・・④
(ア) \(0<a<1\) のとき
④より
\(a^8≦xy≦1\)
最大値 \(1\) 最小値 \(a^8\)
(イ) \(a>1\) のとき
④より
\(1≦xy≦a^8\)
最大値 \(a^8\) 最小値 \(1\)
以上になります。お疲れさまでした。
ここまで見て頂きありがとうございました。
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