対数と無理数に関する問題について見ていきます。
(例題1)
(1) \(\log_{3}4\) は無理数であることを証明せよ。
(2) \(a,b\) は無理数で、\(a^{b}\)が有理数であるような数 \(a,b\) の組を1組求めよ。
(1)
\(\log_{3}4>0\) より
\(\log_{3}4=\displaystyle\frac{q}{p}\)・・・① (\(p,q\)は自然数で、互いに素)
と仮定する。①より
\(3^{\frac{q}{p}}=4\)
\(3^q=4^p\)
となるが、\(3\)と\(4\)は互いに素であるから不合理。
したがって、\(\log_{3}4\) は無理数。
(2)
これだと \((有理数)^{(無理数)}\) \(=有理数\) なので不完全ですが、
\(\log_{3}4=2\log_{3}2\)
を利用すれば、\(3\)の部分を\(\sqrt{3}\) にすることができて条件にあうものとなります。
\((\sqrt{3})^{\log_{3}4}=(3^{\frac{1}{2}})^{2\log_{3}2}=3^{\log_{3}2}=2\)
\(\sqrt{3}\) , \(\log_{3}4\) は、それぞれ無理数なので
\(a=\sqrt{3}\), \(b=\log_{3}4\) が条件に合う組となる。
(例題2)
\(p≧2\), \(q≧1\) なる整数 \(p,q\) に対して、
\(\{\log_{p}(p+1)\}^{\frac{1}{q}}\) は無理数であることを証明せよ。
(解答)
\(\{\log_{p}(p+1)>0\) より
\(\{\log_{p}(p+1)\}^{\frac{1}{q}}=\displaystyle\frac{n}{m}\)・・・① (\(m,n\)は互いに素な自然数)
と仮定する。①より
\(\log_{p}(p+1)=(\displaystyle\frac{n}{m})^{q}\)
\(p^{\frac{n^q}{m^q}}=p+1\)
\(p^{n^q}=(p+1)^{m^q}\)・・・②
ここで \(n,m,q\) は自然数であり、②式より \(p^{n^q}\) が \(p+1\) の倍数となるが、\(p\)は2以上の整数なので、連続する自然数が互いに素であることに矛盾している。
したがって
\(\{\log_{p}(p+1)\}^{\frac{1}{q}}\) は無理数である。
※連続する自然数が互いに素である証明
(最大公約数を \(g\) とおいて \(g=1\) を示す)
\(p≧1\) において
\(p=gr_1\)・・・(1)
\(p+1=gr_2\)・・・(2)
とおく。(ただし \(r_1,r_2\) は互いに素な自然数, \(g\)は自然数)
\(p+1>p\) より、\(r_2>r_1\) で
(2)-(1) より
\(1=g(r_2-r_1)\)
\(g\), \(r_2-r_1\) は自然数だから、\(g=1\)
したがって\(p\) と \(p+1\) の最大公約数は\(1\)、つまり互いに素。
(例題3)
\(n\) を自然数とする。\(5832\) を底とする \(n\) の対数、\(\log_{5832}n\) が有理数であり、\(\displaystyle\frac{1}{2}<\log_{5832}n<1\) を満たすとき、\(n\)の値を求めよ。
(解答)
\(n=1\) は、\(\displaystyle\frac{1}{2}<\log_{5832}n<1\) を満たさないので \(n≧2\)
よって
\(\log_{5832}n=\displaystyle\frac{q}{p}\)・・・① (\(p,q\)は互いに素な自然数)
とおくことができる。
①より
\(5832^{\frac{q}{p}}=n\)
\((2^3\cdot3^6)^{\frac{q}{p}}=n\)
\(2^{\frac{3q}{p}}\cdot3^{\frac{6q}{p}}=n\)・・・②
②より
\(2^{3q}\cdot3^{6q}=n^{p}\)
\(n,p,q\) は自然数だから、素因数\(2\) の数を考えれば、\(3q\) は、\(p\) の自然数倍になることが分かる。
したがって、\(\displaystyle\frac{3q}{p}\) は自然数。(\(\displaystyle\frac{6q}{p}\) も同様に自然数)
\(\displaystyle\frac{1}{2}<\log_{5832}n<1\) より
\(\displaystyle\frac{1}{2}<\displaystyle\frac{q}{p}<1\) だから
\(\displaystyle\frac{3}{2}<\displaystyle\frac{3q}{p}<3\)
よって、\(\displaystyle\frac{3q}{p}=2\)
ゆえに、\(\displaystyle\frac{6q}{p}=4\)
②より
\(n\)\(=2^{\frac{3q}{p}}\cdot3^{\frac{6q}{p}}=2^2\cdot3^4\)\(=324\)
以上になります。お疲れ様でした。
ここまで見て頂きありがとうございました。
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