対数と無理数

対数と無理数に関する問題について見ていきます。

 

(例題1)
(1) \(\log_{3}4\) は無理数であることを証明せよ。
(2) \(a,b\) は無理数で、\(a^{b}\)が有理数であるような数 \(a,b\) の組を1組求めよ。

 

 

背理法がキモになります。有理数と仮定して矛盾を導きます。

(1)
\(\log_{3}4>0\) より

\(\log_{3}4=\displaystyle\frac{q}{p}\)・・・① (\(p,q\)は自然数で、互いに素)

と仮定する。①より

\(3^{\frac{q}{p}}=4\)
\(3^q=4^p\)

となるが、\(3\)と\(4\)は互いに素であるから不合理。

したがって、\(\log_{3}4\) は無理数。

 

(2)

何から手を出していいか分かりにくい問題ですが、(1)が誘導であることを意識して、\(\log_{3}4\)を使うのではないかと考えると、公式 \(a^{\log_{a}M}=M\) より、\(3^{\log_{3}4}=4\) です。
これだと \((有理数)^{(無理数)}\) \(=有理数\) なので不完全ですが、
\(\log_{3}4=2\log_{3}2\)
を利用すれば、\(3\)の部分を\(\sqrt{3}\) にすることができて条件にあうものとなります。

\((\sqrt{3})^{\log_{3}4}=(3^{\frac{1}{2}})^{2\log_{3}2}=3^{\log_{3}2}=2\)

\(\sqrt{3}\) , \(\log_{3}4\) は、それぞれ無理数なので

\(a=\sqrt{3}\), \(b=\log_{3}4\) が条件に合う組となる。

 

省略しましたが丁寧にやるなら、\(\sqrt{3}\) が無理数である証明も加えたほうがよいと思います。

 

 

(例題2)
\(p≧2\),  \(q≧1\) なる整数 \(p,q\) に対して、
\(\{\log_{p}(p+1)\}^{\frac{1}{q}}\) は無理数であることを証明せよ。

 

 

 

こちらも背理法です。ちなみに問題文で扱っているものは、\(\log_{p}(p+1)^{\frac{1}{q}}\) とは異なるものです。

(解答)

\(\{\log_{p}(p+1)>0\) より

\(\{\log_{p}(p+1)\}^{\frac{1}{q}}=\displaystyle\frac{n}{m}\)・・・①  (\(m,n\)は互いに素な自然数)

と仮定する。①より

\(\log_{p}(p+1)=(\displaystyle\frac{n}{m})^{q}\)

\(p^{\frac{n^q}{m^q}}=p+1\)

\(p^{n^q}=(p+1)^{m^q}\)・・・②

\(n,m,q\) は自然数なので、②の左辺は \(p\)の自然数乗、右辺は\(p+1\)の自然数乗です。ここで、「連続する2つの自然数は互いに素」という定理を使えば、②式がおかしいことに気づきます。なおこの定理はそのまま使ってもよいですが、最後に参考として載せておきます。

ここで \(n,m,q\) は自然数であり、②式より \(p^{n^q}\) が \(p+1\) の倍数となるが、\(p\)は2以上の整数なので、連続する自然数が互いに素であることに矛盾している。

したがって
\(\{\log_{p}(p+1)\}^{\frac{1}{q}}\) は無理数である。

 

※連続する自然数が互いに素である証明
(最大公約数を \(g\) とおいて \(g=1\) を示す)

\(p≧1\) において

\(p=gr_1\)・・・(1)
\(p+1=gr_2\)・・・(2)

とおく。(ただし \(r_1,r_2\) は互いに素な自然数, \(g\)は自然数)

\(p+1>p\) より、\(r_2>r_1\) で

(2)-(1) より
\(1=g(r_2-r_1)\)

\(g\), \(r_2-r_1\) は自然数だから、\(g=1\)

したがって\(p\) と \(p+1\) の最大公約数は\(1\)、つまり互いに素。

 

 

 

(例題3)
\(n\) を自然数とする。\(5832\) を底とする \(n\) の対数、\(\log_{5832}n\) が有理数であり、\(\displaystyle\frac{1}{2}<\log_{5832}n<1\) を満たすとき、\(n\)の値を求めよ。

 

 

 

同様に \(\log_{5832}n=\displaystyle\frac{q}{p}\) として議論を進めていきます。

(解答)
\(n=1\) は、\(\displaystyle\frac{1}{2}<\log_{5832}n<1\) を満たさないので \(n≧2\)

よって
\(\log_{5832}n=\displaystyle\frac{q}{p}\)・・・① (\(p,q\)は互いに素な自然数)

とおくことができる。

①より
\(5832^{\frac{q}{p}}=n\)

\((2^3\cdot3^6)^{\frac{q}{p}}=n\)

\(2^{\frac{3q}{p}}\cdot3^{\frac{6q}{p}}=n\)・・・②

 

例えば、\(2^{\frac{1}{4}}\cdot3^{\frac{1}{2}}\) は自然数にならないので、②の左辺の指数が分数になると右辺が自然数にならなさそうです。よって、指数が自然数であることを示すことになりますが、証明方法は②を\(p\)乗して、素因数 \(2,3\) の数を数えます。

②より
\(2^{3q}\cdot3^{6q}=n^{p}\)

\(n,p,q\) は自然数だから、素因数\(2\) の数を考えれば、\(3q\) は、\(p\) の自然数倍になることが分かる。

したがって、\(\displaystyle\frac{3q}{p}\) は自然数。(\(\displaystyle\frac{6q}{p}\) も同様に自然数)

\(\displaystyle\frac{1}{2}<\log_{5832}n<1\) より

\(\displaystyle\frac{1}{2}<\displaystyle\frac{q}{p}<1\) だから

\(\displaystyle\frac{3}{2}<\displaystyle\frac{3q}{p}<3\)

よって、\(\displaystyle\frac{3q}{p}=2\)

ゆえに、\(\displaystyle\frac{6q}{p}=4\)

②より
\(n\)\(=2^{\frac{3q}{p}}\cdot3^{\frac{6q}{p}}=2^2\cdot3^4\)\(=324\)

 

 

この単元はほとんど整数問題ですね。

 

 

以上になります。お疲れ様でした。
ここまで見て頂きありがとうございました。
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