2つの集合の要素の個数 | 教えて数学理科

集合の考え方をもとに、集合の要素の個数の数え方について見ていきます。
まずは、2つの集合の場合からです。

・有限集合と無限集合
集合\(P\)を1桁の自然数の集合、集合\(Q\)を正の数である3の倍数の集合とすると
\(P=\{1,2,3,4,\)\(5,6,7,8,9\}\)
\(Q=\{3,6,9,12・・・\}\)
となります。集合\(P\)の要素の個数は9個で有限ですが、集合\(Q\)の要素の個数は無限に多くあります。このように要素の個数が有限個である集合を有限集合、要素の個数が無限にある集合を無限集合といいます。有限集合である\(A\)について要素の個数を\(n(A\))と表すと、上の\(P\)については　\(n(P)=9\) です。また、空集合は要素をもたないので　\(n(φ)=0\) となります。

・和集合の要素の個数(2つの集合)
2つの集合\(A,B\)の和集合の要素の個数は、\(n(A),n(B)\)を用いてどのように表されるでしょうか。

例えば、100人にアンケートをとって、アメリカかイギリスに行ったことがあるか調べたとき、アメリカに行ったことがある人は10人、イギリスに行ったことがある人は10人だったとします。アメリカ　または　イギリス　に行ったことがある人は 10+10=20人　となるのでしょうか。

①\(A \cap B≠φ\)　のとき、つまり\(A\)と\(B\)の共通の要素が存在するとき
ベン図を描くと次の通りになります。

このとき、\(n(A \cup B)\)は次のようになります。

\(n(A \cup B)\)\(=n(A)+n(B)-n(A \cap B)\)

\(n(A)\)と\(n(B)\)を単純に足しただけだと、共通部分を2重にカウントしていることになるため、1回分共通部分の個数を引くことになります。上のアンケートの例だと、極端な場合ですが、アメリカとイギリスの両方に行ったことがある人が10人で、残りの90人はどちらにも行ったことないとするとき、アメリカ　または　イギリス　に行ったことがある人をx人とすると、アメリカとイギリスの両方に行ったことがある人が10人なので、x=10+10-10=10　です。

②\(A\cap B=φ\)　のとき、つまり\(A\)と\(B\)の共通の要素が存在しないとき

\(n(A \cup B)\)\(=n(A)+n(B)\)

\(n(A \cup B)\)\(=n(A)+n(B)-n(A \cap B)\)　で　\(n(A \cap B)=0\) の場合です。
アンケートの例だと、アメリカとイギリスの両方に行ったことがある人がいない場合です。この場合は単純にアメリカ　または　イギリス　に行ったことがある人は　10+10=20人　となります。

・補集合の要素の個数
全体集合を\(U\)として、\(U\)の部分集合\(A\)と補集合\(\overline{A}\)を考えます。\(n(U)=u\)、\(n(A)=a\) とすると、\(n(\overline {A})=u-a\) だから

\(n(\overline {A})=n(U)-n(A)\)

が成り立ちます。

補集合　要素個数

例えば100までの自然数で、5の倍数でない数の個数を求めるときに、5の倍数でない数をひたすら数えるよりも、5の倍数の個数を数えて、全体の個数100から引いた方が楽です。

・ベン図の各領域の集合
全体集合\(U\)とその部分集合\(A,B\)をベン図で表したときに、各領域で表される集合は次の通りになります。

1題、例題をやってみます。

(例題)
100人の学生について、数学が「好きか、好きでないか」および「得意か得意でないか」について調べた。好きと答えた者は43人、得意と答えた者は29人、好きでもなく得意でもないと答えた者は35人であった。
(1)数学が好きであり、得意でもあると答えた者は何人か。
(2)数学が好きだが、得意ではないと答えた者は何人か。

ベン図も合わせて考えていきます。

(解答)
(1)
学生全体の集合を\(U\)、数学が好きであると答えた者の集合を\(A\)、数学が得意であると答えた者の集合を\(B\)とする。

2集合　要素例題

\(n(U)=100\),　\(n(A)=43\),　\(n(B)=29\),　\(n(\overline A \cap \overline B)=35\)　だから
\(n(A \cup B)=100-35=65\)

\(n(A \cup B)\)\(=n(A)+n(B)-n(A \cap B)\) より
\(65=43+29-n(A \cap B)\)

よって、\(n(A \cap B)=\)\(7(人)\)

(2)
求めるものは、\(n(A \cap \overline B)\) なので、図より
\(n(A \cap \overline B)\)\(=n(A)-n(A \cap B)=43-7=\)\(36(人)\)

丁寧にやりましたが、これくらいの問題ならベン図に直接数字を書き込んで考えてもよいです。

以上になります。お疲れさまでした。
ここまで見て頂きありがとうございました。

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