調和数列について見ていきます。
・調和数列
どの項も\(0\)でない数列\(\{a_n\}\)について、逆数を項とする数列\(\{\displaystyle\frac{1}{a_n}\}\) が等差数列となるとき、もとの数列\(\{a_n\}\)を調和数列といいます。
例えば数列
\(\{a_n\}:1,\displaystyle\frac{1}{3},\displaystyle\frac{1}{5},\displaystyle\frac{1}{7},\cdots\)
の逆数をとった数列は
\(\{\displaystyle\frac{1}{a_n}\}:1,3,5,7,\cdots\)
であり等差数列となるので、\(\{a_n\}\)は調和数列となります。
\(\{a_n\}\)が調和数列であるとき、\(a_{n+1},a_{n}\)について次の等式が成り立ちます。
\(\displaystyle\frac{1}{a_{n+1}}-\displaystyle\frac{1}{a_n}=d\) (\(d\)は定数)
また反対にとらえると、等差数列(どの項も\(0\)でない)の逆数をとって得られる数列は調和数列であることになります。
(例題1)
調和数列\(\{a_n\}\)において、\(a_2=1\), \(a_5=-\displaystyle\frac{1}{5}\) のとき、\(a_{21}\) を求めよ。
(解答)
\(\{\displaystyle\frac{1}{a_n}\}\) は等差数列になる。
\(\displaystyle\frac{1}{a_n}=a+(n-1)d\) とおくと
\(\displaystyle\frac{1}{a_2}=1\), \(\displaystyle\frac{1}{a_5}=-5\) より
\(1=a+d\), \(-5=a+4d\)
よって
\(d=-2\), \(a=3\) となるので
\(\displaystyle\frac{1}{a_n}\)\(=3-2(n-1)\)\(=-2n+5\)
したがって
\(a_n=\displaystyle\frac{1}{-2n+5}\) となるから
\(a_{21}=-\displaystyle\frac{1}{37}\)
(例題2)
数列 \(12,□,□,3\) は調和数列である。
(解答)
数列
\(\displaystyle\frac{1}{12},△,△,\displaystyle\frac{1}{3}\)
は等差数列になるので、この公差を\(d\)とすると
\(\displaystyle\frac{1}{12}+3d=\displaystyle\frac{1}{3}\)
\(d=\displaystyle\frac{1}{12}\)
よってこの等差数列は
\(\displaystyle\frac{1}{12},\displaystyle\frac{1}{6},\displaystyle\frac{1}{4},\displaystyle\frac{1}{3}\)
となるので、もとの調和数列は
\(12,\)\(6,4\)\(,3\)
以上になります。お疲れ様でした。
ここまで見て頂きありがとうございました。
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