部分分数分解①


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部分分数分解を利用した数列の和を求める例題です。
最初に部分分数分解の知識について整理しておきます。

 

・部分分数分解
ある分数の分母が積の形に因数分解されている(できる)場合、因数を分母とする分数の和(差)に変形できます。以下主な部分分数分解の公式を列挙します。

(部分分数分解)
(1)\(\displaystyle\frac{px+q}{(x+a)(x+b)}=\displaystyle\frac{A}{x+a}+\displaystyle\frac{B}{x+b}\) (\(a≠b\))
(特に \(\displaystyle\frac{1}{(x+a)(x+b)}=\displaystyle\frac{1}{b-a}\left(\displaystyle\frac{1}{x+a}-\displaystyle\frac{1}{x+b}\right)\))
(2)\(\displaystyle\frac{px+q}{(x+a)^2}=\displaystyle\frac{A}{x+a}+\displaystyle\frac{B}{(x+a)^2}\)
(3)\(\displaystyle\frac{px^2+qx+r}{(x+a)(x^2+bx+c)}=\displaystyle\frac{A}{x+a}+\displaystyle\frac{Bx+C}{x^2+bx+c}\)
(4)\(\displaystyle\frac{px^2+qx+r}{(x+a)^2(x+b)}=\displaystyle\frac{A}{x+a}+\displaystyle\frac{B}{(x+a)^2}+\displaystyle\frac{C}{x+b}\) (\(a≠b\))
(5)\(\displaystyle\frac{k}{(k+1)!}=\displaystyle\frac{1}{k!}-\displaystyle\frac{1}{(k+1)!}\) (\(k\)は\(0\)以上の整数)
(5)は特殊として、
(ア)分母の次数より分子の次数のほうが小さい
(イ)分母が\((\ )^n\)の場合は、\(n\)乗以下の分数をすべて考える(分子は定数)
のルールを覚えればよいです。他の形についても基本的にはこの法則で対応できます。

(解説)
(1)
例えば \(\displaystyle\frac{1}{(x+1)(x+2)}\) の部分分数分解について考えます。

\(\displaystyle\frac{1}{x+1},\displaystyle\frac{1}{x+2}\) の定数倍の和は通分することによって

\(\displaystyle\frac{A}{x+1}+\displaystyle\frac{B}{x+2}=\displaystyle\frac{(A+ B)x+(2A+B)}{(x+1)(x+2)}\)

と計算でき、\(A+B=0\), \(2A+B=1\) つまり、\(A=1,B=-1\) とすることで

\(\displaystyle\frac{1}{(x+1)(x+2)}=\displaystyle\frac{1}{x+1}-\displaystyle\frac{1}{x+2}\)

と変形できることが分かります。同様に、\(\displaystyle\frac{px+q}{(x+a)(x+b)}\) (\(a≠b\))についても

\(\displaystyle\frac{px+q}{(x+a)(x+b)}=\displaystyle\frac{A}{x+a}+\displaystyle\frac{B}{x+b}\)

として、右辺を通分して\(A,B\)を求めることになります。右辺の分子が定数(0次)になるのは、例えば1次とすると、\(\displaystyle\frac{Cx+D}{x+a}=C+\displaystyle\frac{D’}{x+a}\) と帯分数にすることで定数部分\(C\)が表れてしまうからです。
(\(\displaystyle\frac{1}{(x+1)(x+2)}=\displaystyle\frac{x+2}{x+1}-\displaystyle\frac{x+3}{x+2}\) のような変形もできなくもないが、この場合も帯分数にすると結局定数部分が打ち消されることになる)

また、数列の和を計算する上でよく出てくる形 \(\displaystyle\frac{1}{(x+a)(x+b)}\) については、同様に\(A,B\)を求めることで

\(\displaystyle\frac{1}{(x+a)(x+b)}=\displaystyle\frac{1}{b-a}\left(\displaystyle\frac{1}{x+a}-\displaystyle\frac{1}{x+b}\right)\)

と変形できます。

 

(2)
分子に \((x+a)\) という形を作ることで

\(\displaystyle\frac{px+q}{(x+a)^2}=\displaystyle\frac{p(x+a-a)+q}{(x+a)^2}\)

\(=\displaystyle\frac{p(x+a)+(-pa+q)}{(x+a)^2}\)

\(=\displaystyle\frac{A}{x+a}+\displaystyle\frac{B}{(x+a)^2}\)

なお、分母の次数がこれより高い場合も同様に、例えば3乗だと

\(\displaystyle\frac{px^2+qx+r}{(x+a)^3}=\displaystyle\frac{p(x+a-a)^2+q(x+a-a)+r}{(x+a)^3}\)

(\((x+a-a)^2=(x+a)^2-2a(x+a)+a^2\) より)

\(=\displaystyle\frac{A}{x+a}+\displaystyle\frac{B}{(x+a)^2}+\displaystyle\frac{C}{(x+a)^3}\)

という形になります(分子はすべて定数になります)。

 

(3)
1次×2次の場合は、(分子の次数)<(分母の次数) に注意すると、分母が2次のときは分子が1次以下で

\(\displaystyle\frac{px^2+qx+r}{(x+a)(x^2+bx+c)}=\displaystyle\frac{A}{x+a}+\displaystyle\frac{Bx+C}{x^2+bx+c}\)

として、右辺を通分して\(A,B,C\)を決定することになります。

\(a=b=c=0\) や \(a=0,b=1,c=0\) などの\(x^2+bx+c\) が因数分解できて、その因数が\(x+a\)と共通になってしまう場合は除きます。
何故かというと例えば
\(\displaystyle\frac{1}{(x+1)(x^2+3x+2)}=\displaystyle\frac{A}{x+1}+\displaystyle\frac{Bx+C}{(x^2+3x+2)}\)
としても、\((x^2+3x+2)=(x+1)(x+2)\) なので、通分すると分母が \((x+1)(x+2)\) となってしまうからです。

 

(4)
まず、1次と2次に分けて
\(\displaystyle\frac{px^2+qx+r}{(x+a)^2(x+b)}=\displaystyle\frac{Mx+N}{(x+a)^2}+\displaystyle\frac{L}{x+b}\)

さらに\(\displaystyle\frac{Mx+N}{(x+a)^2}\)を(2)と同様の変形をすることで

\(\displaystyle\frac{px^2+qx+r}{(x+a)^2(x+b)}=\displaystyle\frac{A}{x+a}+\displaystyle\frac{B}{(x+a)^2}+\displaystyle\frac{C}{x+b}\)

 

(5)
\(\displaystyle\frac{k}{(k+1)!}\)\(=\displaystyle\frac{\color{red}{(k+1)-1}}{(k+1)!}\)

\(=\displaystyle\frac{k+1}{(k+1)!}-\displaystyle\frac{1}{(k+1)!}\)

\(=\displaystyle\frac{1}{k!}-\displaystyle\frac{1}{(k+1)!}\)

 

 

 

(例題)
(1)次の数列の初項から第\(n\)項までの和を求めよ。
\(\displaystyle\frac{1}{1\cdot3},\ \displaystyle\frac{1}{2\cdot4},\ \displaystyle\frac{1}{3\cdot5},\cdots\)

(2)次の和を求めよ。
\(\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\displaystyle\frac{k}{(k+1)!}\)

 

 

部分分数分解をして具体的に和を書くことで、和の途中の部分が打ち消されてうまく求めることができます。

(解答)
(1)
求める和を\(S\)とすると、
\(S=\displaystyle\sum_{k=1}^n\displaystyle\frac{1}{k(k+2)}\)

\(=\displaystyle\frac{1}{2}\displaystyle\sum_{k=1}^n(\displaystyle\frac{1}{k}-\displaystyle\frac{1}{k+2})\)

\(=\displaystyle\frac{1}{2}\{(\color{blue}{\displaystyle\frac{1}{1}}-\cancel{\displaystyle\frac{1}{3}})+(\color{blue}{\displaystyle\frac{1}{2}}-\cancel{\displaystyle\frac{1}{4}})+(\cancel{\displaystyle\frac{1}{3}}-\cancel{\displaystyle\frac{1}{5}})+\)
\(\cdots+(\cancel{\displaystyle\frac{1}{n-1}}\color{blue}{-\displaystyle\frac{1}{n+1}})+(\cancel{\displaystyle\frac{1}{n}}\color{blue}{-\displaystyle\frac{1}{n+2}})\}\)

左側の分数の分母は\(1~n\)、右側の分数の分母は\(3~n+2\) なので、残るのは\(1,2,n+1,n+2\)が分母の分数です。

\(=\displaystyle\frac{1}{2}(1+\displaystyle\frac{1}{2}-\displaystyle\frac{1}{n+1}-\displaystyle\frac{1}{n+2})\)

(計算して)

\(=\displaystyle\frac{n(3n+5)}{4(n+1)(n+2)}\)

 

(2)
\(\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\displaystyle\frac{k}{(k+1)!}\)

\(=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\displaystyle\frac{k+1-1}{(k+1)!}\)

\(=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\{\displaystyle\frac{1}{k!}-\displaystyle\frac{1}{(k+1)!}\}\)

\(=(\displaystyle\frac{1}{1!}-\cancel{\displaystyle\frac{1}{2!}})+(\cancel{\displaystyle\frac{1}{2!}}-\cancel{\displaystyle\frac{1}{3!}})+(\cancel{\displaystyle\frac{1}{3!}}-\cancel{\displaystyle\frac{1}{4!}})+\)
\(\cdots+(\cancel{\displaystyle\frac{1}{n!}}-\displaystyle\frac{1}{(n+1)!})\)

\(=1-\displaystyle\frac{1}{(n+1)!}\)

 

 

本格的な演習は次回に回します。

以上になります。お疲れさまでした。
ここまで見ていただきありがとうございました。
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