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部分分数分解を利用した数列の和を求める演習です。
(例題1)次の和を求めよ。
(1)\(\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\displaystyle\frac{2k+1}{k^2(k+1)^2}\)
(2)\(\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\displaystyle\frac{1}{k(k+1)(k+2)}\)
(3)\(\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\displaystyle\frac{4k+3}{k(k+1)(k+2)}\)
(解答)
(1)
\(\displaystyle\frac{2k+1}{k^2(k+1)^2}=\displaystyle\frac{□}{k^2}+\displaystyle\frac{□}{(k+1)^2}\)
と変形できますが、\((k+1)^2-k^2=2k+1\) になることに着目すると、
\(\displaystyle\frac{2k+1}{k^2(k+1)^2}=\displaystyle\frac{1}{k^2}-\displaystyle\frac{1}{(k+1)^2}\)
となります。
\(\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\displaystyle\frac{2k+1}{k^2(k+1)^2}\)
\(=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\{\displaystyle\frac{1}{k^2}-\displaystyle\frac{1}{(k+1)^2}\}\)
\(=(\displaystyle\frac{1}{1^2}-\cancel{\displaystyle\frac{1}{2^2}})+(\cancel{\displaystyle\frac{1}{2^2}}-\cancel{\displaystyle\frac{1}{3^2}})+\cdots+(\cancel{\displaystyle\frac{1}{n^2}}-\displaystyle\frac{1}{(n+1)^2})\)
\(=1-\displaystyle\frac{1}{(n+1)^2}\)
(2)
\(\displaystyle\frac{1}{k(k+1)(k+2)}=\displaystyle\frac{□}{k(k+1)}+\displaystyle\frac{□}{(k+1)(k+2)}\)
とすると、\((k+2)-2=2\) より
\(\displaystyle\frac{1}{k(k+1)(k+2)}=\displaystyle\frac{1}{2}(\displaystyle\frac{1}{k(k+1)}-\displaystyle\frac{1}{(k+1)(k+2)})\)
\(\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\displaystyle\frac{1}{k(k+1)(k+2)}\)
\(=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\displaystyle\frac{1}{2}(\displaystyle\frac{1}{k(k+1)}-\displaystyle\frac{1}{(k+1)(k+2)})\)
\(=\displaystyle\frac{1}{2}\{(\displaystyle\frac{1}{1\cdot2}-\cancel{\displaystyle\frac{1}{2\cdot3}})+(\cancel{\displaystyle\frac{1}{2\cdot3}}-\cancel{\displaystyle\frac{1}{3\cdot4}})+\cdots+(\cancel{\displaystyle\frac{1}{n(n+1)}}-\displaystyle\frac{1}{(n+1)(n+2)})\}\)
\(=\displaystyle\frac{1}{2}(\displaystyle\frac{1}{2}-\displaystyle\frac{1}{(n+1)(n+2)})\)
\(=\displaystyle\frac{n(n+3)}{4(n+1)(n+2)}\)
(3)
\(\displaystyle\frac{4k+3}{k(k+1)(k+2)}=\displaystyle\frac{□}{k(k+1)}+\displaystyle\frac{□}{(k+1)(k+2)}\)
を目指しますが、分子が定数だとうまくいかないので分子を1次式にします。分子も1個ずれた形にするために
\(\displaystyle\frac{4k+3}{k(k+1)(k+2)}=\displaystyle\frac{Ak+B}{k(k+1)}-\displaystyle\frac{A(k+1)+B}{(k+1)(k+2)}\)
となるような\(A,B\)を決定します。
また、分子の\(4k,3\)を分ける別解もあります。
\(\displaystyle\frac{4k+3}{k(k+1)(k+2)}=\displaystyle\frac{Ak+B}{k(k+1)}-\displaystyle\frac{A(k+1)+B}{(k+1)(k+2)}\) とおくと
(右辺)
\(=\displaystyle\frac{Ak+2B}{k(k+1)(k+2)}\)
よって \(A=4,B=\displaystyle\frac{3}{2}\) とすると
\(\displaystyle\frac{4k+3}{k(k+1)(k+2)}=\displaystyle\frac{4k+\displaystyle\frac{3}{2}}{k(k+1)}-\displaystyle\frac{4(k+1)+\displaystyle\frac{3}{2}}{(k+1)(k+2)}\)
\(=\displaystyle\frac{1}{2}\left\{\displaystyle\frac{8k+3}{k(k+1)}-\displaystyle\frac{8(k+1)+3}{(k+1)(k+2)}\right\}\) (1個ずれた差の形)
したがって
\(\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\displaystyle\frac{4k+3}{k(k+1)(k+2)}\)
\(=\displaystyle\frac{1}{2}\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\left\{\displaystyle\frac{8k+3}{k(k+1)}-\displaystyle\frac{8(k+1)+3}{(k+1)(k+2)}\right\}\)
\(=\displaystyle\frac{1}{2}\{(\displaystyle\frac{8\cdot1+3}{1\cdot2}-\cancel{\displaystyle\frac{8\cdot2+3}{2\cdot3}})+(\cancel{\displaystyle\frac{8\cdot2+3}{2\cdot3}}-\cancel{\displaystyle\frac{8\cdot3+3}{3\cdot4}})+\)
\(\cdots+(\cancel{\displaystyle\frac{8n+3}{n(n+1)}}-\displaystyle\frac{8(n+1)+3}{(n+1)(n+2)})\}\)
\(=\displaystyle\frac{1}{2}\{\displaystyle\frac{11}{2}-\displaystyle\frac{8(n+1)+3}{(n+1)(n+2)}\}\)
\(=\displaystyle\frac{n(11n+17)}{4(n+1)(n+2)}\)
(別解)
\(\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\displaystyle\frac{4k+3}{k(k+1)(k+2)}\)
\(=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\displaystyle\frac{4k}{k(k+1)(k+2)}+\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\displaystyle\frac{3}{k(k+1)(k+2)}\)
\(=4\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\displaystyle\frac{1}{(k+1)(k+2)}+3\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\displaystyle\frac{1}{k(k+1)(k+2)}\)
(1つ目のシグマは簡単な部分分数分解、2つ目のシグマは(2)と同じ)
\(=4\displaystyle\sum_{k=1}^{n}(\displaystyle\frac{1}{k+1}-\displaystyle\frac{1}{k+2})+\displaystyle\frac{3}{2}\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\{\displaystyle\frac{1}{k(k+1)}-\displaystyle\frac{1}{(k+1)(k+2)}\}\)
(途中の項は打ち消されて)
\(=4(\displaystyle\frac{1}{2}-\displaystyle\frac{1}{n+2})+\displaystyle\frac{3}{2}(\displaystyle\frac{1}{2}-\displaystyle\frac{1}{(n+1)(n+2)})\)
\(=\displaystyle\frac{n(11n+17)}{4(n+1)(n+2)}\)
(例題2)
(1)数列
\(\displaystyle\frac{1}{1+\sqrt{2}},\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}},\cdots,\displaystyle\frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}\)
の和を求めよ。
(2)次の和を求めよ。
\(\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k(k+1)(k+2)\)
(解答)
(1)
求める和を\(S\)とすると
\(S=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\displaystyle\frac{1}{\sqrt{k}+\sqrt{k+1}}\)
\(=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\displaystyle\frac{1}{\sqrt{k}+\sqrt{k+1}}×\displaystyle\frac{\sqrt{k+1}-\sqrt{k}}{\sqrt{k+1}-\sqrt{k}}\)
\(=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}(\sqrt{k+1}-\sqrt{k})\)
\(=(\cancel{\sqrt{2}}-1)+(\cancel{\sqrt{3}}-\cancel{\sqrt{2}})+\cdots+(\sqrt{n+1}-\cancel{\sqrt{n}})\)
\(=\sqrt{n+1}-1\)
(2)
\(k(k+1)(k+2)\) は3次式ですが、最高次の係数が等しいと差をとると消えてしまうので、1つ次数の大きい4次式の差を考えます。1つずらしの差を意識して
\(k(k+1)(k+2)(k+3)-(k-1)k(k+1)(k+2)\)
\(=k(k+1)(k+2)\{(k+3)-(k-1)\}\)
\(=4k(k+1)(k+2)\)
なので、4倍の分だけあとで調整します。
\(\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k(k+1)(k+2)\)
\(=\displaystyle\frac{1}{4}\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\{k(k+1)(k+2)(k+3)-(k-1)k(k+1)(k+2)\}\)
(途中の項は打ち消されて)
\(=\displaystyle\frac{1}{4}\{n(n+1)(n+2)(n+3)-0\}\)
\(=\displaystyle\frac{1}{4}n(n+1)(n+2)(n+3)\)
(例題3)
\(\displaystyle\sum_{n=1}^{20}\displaystyle\frac{1}{1+2+3+\cdots+n}\)
の値を求めよ。
なお、この例題では\(n\)がシグマに関する変数になっています。
(解答)
\(1+2+3+\cdots+n=\displaystyle\frac{1}{2}n(n+1)\) より
\(\displaystyle\sum_{n=1}^{20}\displaystyle\frac{1}{1+2+3+\cdots+n}\)
\(=\displaystyle\sum_{n=1}^{20}\displaystyle\frac{2}{n(n+1)}\)
\(=2\displaystyle\sum_{n=1}^{20}(\displaystyle\frac{1}{n}-\displaystyle\frac{1}{n+1})\)
\(=2\{(\displaystyle\frac{1}{1}-\cancel{\displaystyle\frac{1}{2}})+(\cancel{\displaystyle\frac{1}{2}}-\cancel{\displaystyle\frac{1}{3}})+\cdots+(\cancel{\displaystyle\frac{1}{20}}-\displaystyle\frac{1}{21})\}\)
\(=2(1-\displaystyle\frac{1}{21})\)
\(=\displaystyle\frac{40}{21}\)
以上になります。お疲れさまでした。
ここまで見ていただきありがとうございました。
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