奇数・偶数項と和 | 教えて数学理科

奇数項と偶数項に着目する数列の和の例題です。

(例題1)
\(S_n=1^2-2^2+3^2-4^2+\cdots+(-1)^{n+1}n^2\) とする。
(1)\(S_{2n}\)を求めよ。
(2)\(S_{2n-1}\)を求めよ。
(3)\(S_{n}\)を求めよ。

(解答)
(1)

(整式)×(等比) の形なので、公比倍との差をとる方法もあると思いますが、公比が\(-1\)で1項ずつ符号が変わっているだけなので、偶数項、奇数項に着目して解くことができます。

\(S_{2n}=1^2-2^2+3^2-4^2+\cdots+(2n-1)^2-(2n)^2\)

\(T_1=1^2+3^2+5^2+\cdots+(2n-1)^2\)
\(T_2=-\{2^2+4^2+6^2+\cdots+(2n)^2\}\)
とおくと、\(S_{2n}=T_1+T_2\)

\(S_{2n}=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}(2k-1)^2-\displaystyle\sum_{k=1}^{n}(2k)^2\)

\(=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}(-4k+1)\)

\(=-4\cdot\displaystyle\frac{1}{2}n(n+1)+n\)

\(=-n(2n+1)\)

(2)

(1)を利用すると楽です。
\(S_{2n}=a_1+a_2+\cdots+a_{2n-1}+a_{2n}\)
なので、最後の項を1つ減らすことを考えて
\(S_{2n-1}=S_{2n}-a_{2n}\)
です。

\(a_n=(-1)^{n+1}n^2\) とおくと

\(S_{2n-1}=S_{2n}-a_{2n}\)
\(=-n(2n+1)-\{-(2n)^2\}\)
\(=-n(2n+1)+4n^2\)
\(=n(2n-1)\)

(3)

(1)(2)で偶奇で分けて和を求めました。それぞれ\(S_{2n},S_{2n-1}\)の形になっているので、\(2n=m\)・・・① としてひとまず\(m\)の式で表します(①で\(n=1,2,\cdots\) と変化させると、\(m=2,4,\cdots\) と変化していきます)。同様に\(S_{2n-1}\)のほうも\(2n-1=m\)とおいて進めていきます(こちらは\(m=1,3,\cdots\)と変化)。

\(S_{2n}=-n(2n+1)\)・・・②
\(S_{2n-1}=n(2n-1)\)・・・③

②で\(m=2n\) (\(n=\displaystyle\frac{1}{2}m\)) とすると
\(S_{m}=-\displaystyle\frac{1}{2}m(m+1)\)　(\(m=2,4,\cdots\))

③で\(m=2n-1\) (\(n=\displaystyle\frac{1}{2}(m+1)\)) とすると
\(S_{m}=\displaystyle\frac{1}{2}(m+1)m\)　(\(m=1,3,\cdots\))

\(m→n\)と戻して答えとしてもよいですが、偶奇で符号が変わってるだけ(奇数のときがプラス)なのでまとめてしまいます。

したがって
\(S_{n}=\displaystyle\frac{(-1)^{n-1}}{2}n(n+1)\)

(例題2)
\(a_n=\displaystyle\frac{1}{2}n(n-1)\)　(\(n=1,2,\cdots\))　とする。
\(c_n=a_1-a_2+a_3-a_4+\cdots+(-1)^{n-1}a_n\)
で定まる\(c_n\)を\(n\)の式で表せ。

同じく \(c_n=\displaystyle\frac{1}{2}n(n-1)×(-1)^{n-1}\) で、(整式)×(等比) の形になっていますが、公比が\(-1\)で符号が変わるだけなので偶奇の項で分けて考えます。

(解答)
\(m\)を自然数とすると
\(c_{2m}=a_1-a_2+\cdots+a_{2m-1}-a_{2m}\)

\(T_1=a_1+a_3+\cdots+a_{2m-1}\)
\(T_2=-(a_2+a_4+\cdots+a_{2m})\)
とおくと、\(c_{2m}=T_1+T_2\) であり

\(a_{2m-1}=\displaystyle\frac{1}{2}\cdot(2m-1)(2m-2)\)
\(a_{2m}=\displaystyle\frac{1}{2}\cdot2m(2m-1)\) より

\(c_{2m}=\displaystyle\sum_{k=1}^{m}(2k-1)(k-1)-\displaystyle\sum_{k=1}^{m}k(2k-1)\)

\(=\displaystyle\sum_{k=1}^{m}(-2k+1)\)

\(=-\displaystyle\frac{2}{2}m(m+1)+m\)

\(=-m^2\)

また
\(c_{2m-1}=c_{2m}-(-a_{2m})\)
\(=-m^2+m(2m-1)\)
\(=m^2-m\)

\(c_{2m}=-m^2\)・・・①
\(c_{2m-1}=m^2-m\)・・・②

において、
①で \(n=2m\) (\(m=\displaystyle\frac{1}{2}n\)) とすると
\(c_n=-\displaystyle\frac{1}{4}n^2\)　(\(n=2,4,\cdots\))

②で \(n=2m-1\)　(\(m=\displaystyle\frac{1}{2}(n+1)\))　とすると
\(c_n=\displaystyle\frac{1}{4}(n+1)^2-\displaystyle\frac{1}{2}(n+1)\)
\(=\displaystyle\frac{1}{4}n^2-\displaystyle\frac{1}{4}\)　(\(n=1,3,\cdots\))

したがって
\(c_n=-\displaystyle\frac{1}{4}n^2\)　(\(n\)は偶数)
\(c_n=\displaystyle\frac{1}{4}n^2-\displaystyle\frac{1}{4}\)　(\(n\)は奇数)

偶奇をまとめて1つの式にするなら
\(c_n=\displaystyle\frac{(-1)^{n-1}}{4}n^2-\displaystyle\frac{1+(-1)^{n-1}}{8}\)
となります。

以上になります。お疲れさまでした。
ここまで見ていただきありがとうございました。
next→群数列①　back→Snとanの関係