\(a_{n+1}\cdot a_{n}\) の形を含む漸化式の例題です。
(例題1)
\(a_1=1\), \(a_2=2\), \(a_{n+2}a_{n+1}=a_n^2\) (\(n=1,2,3,\cdots\))
で定義される数列\(\{a_n\}\)の一般項を求めよ。
(解答)
\(a_1=1\), \(a_2=2\) と、
\(a_{n+2}a_{n+1}=a_n^2\)・・・①
より、\(a_3>0\)。同様に\(a_2,a_3>0\)より\(a_4>0\)であり、これを繰り返すことにより任意の\(n\)で \(a_n>0\)。
よって①で両辺底を\(2\)とする対数をとって
\(\log_2 a_{n+2}+\log_2 a_{n+1}=2\log_2a_n\) (3項間漸化式)
\(\log_2a_n=b_n\) とおくと
\(b_{n+2}+b_{n+1}-2b_n=0\)
\(b_1=\log_2a_1=\log_21=0\)
\(b_2=\log_2a_2=\log_22=1\)
特性方程式 \(x^2+x-2=0\) を解くと
\((x+2)(x-1)=0\)
\(x=-2,1\) より、\(b_n\)の漸化式は次のように変形できる。
\(b_{n+2}+2b_{n+1}=b_{n+1}+2b_n\)
\(b_{n+2}-b_{n+1}=-2(b_{n+1}-b_n)\)
よって
\(b_{n+1}+2b_n=b_{n}+2b_{n-1}=\cdots=b_2+2b_1=1\)・・・②
\(b_{n+1}-b_n=(b_2-b_1)(-2)^{n-1}=(-2)^{n-1}\)・・・③
(②－③)÷3 より
\(b_n=\displaystyle\frac{1-(-2)^{n-1}}{3}\)
したがって
\(\log_2a_n=\displaystyle\frac{1-(-2)^{n-1}}{3}\) だから
\(a_n=2^{\frac{1-(-2)^{n-1}}{3}}\)
(例題2)
次の条件で定義される数列\(\{a_n\}\)の一般項をそれぞれ求めよ。(\(n\)は自然数)
(1)\(a_1=1\), \(a_{n+1}a_n+3a_{n+1}-3a_n=0\)
(2)
\(a_1=1\), \(a_2=\displaystyle\frac{1}{2}\),
\(a_{n+2}a_{n+1}-2a_{n+2}a_{n}+a_{n+1}a_{n}=0\)
定数項がないのでこのタイプの漸化式は、\(a_n,a_{n+1}\) で割ることで解決させます。
(解答)
(1)
\(a_1=1\), \(a_{n+1}a_n+3a_{n+1}-3a_n=0\)・・・①
(まず\(a_{n+1}\)について整理して)
①より
\(a_{n+1}(a_n+3)=3a_n\)・・・②
\(a_1=1≠0\) だから②より \(a_{2}(a_1+3)≠0\)
よって \(a_{2}≠0\)。同様のことを繰り返すと任意の\(n\)で\(a_n≠0\)
①を\(a_{n+1}a_n\)で割ると
\(1+\displaystyle\frac{3}{a_{n}}-\displaystyle\frac{3}{a_{n+1}}=0\) (等差型)
\(b_n=\displaystyle\frac{3}{a_{n}}\) とおくと
\(b_{n+1}=b_n+1\)
\(b_1=\displaystyle\frac{3}{a_1}=3\)
よって
\(b_{n}=b_1+(n-1)\cdot1=n+2\)
したがって
\(a_n=\displaystyle\frac{3}{b_{n}}\)\(=\displaystyle\frac{3}{n+2}\)
(参考)
\(a_{n+1}(a_n+3)=3a_n\)・・・②
において、\(a_n=-3\) とすると②の右辺は\(-9\)だから等式が成り立たないので任意の\(n\)で\(a_n≠-3\)。したがって\(a_{n}+3\)で割ると
\(a_{n+1}=\displaystyle\frac{3a_n}{a_n+3}\)
と分数型の漸化式なる。これは逆数をとるだけで解決する分数型。
(2)
\(a_1=1\), \(a_2=\displaystyle\frac{1}{2}\),
\(a_{n+2}a_{n+1}-2a_{n+2}a_{n}+a_{n+1}a_{n}=0\)・・・③
(\(a_{n+2}\)について整理して)
\(a_{n+2}(a_{n+1}-2a_n)=-a_{n+1}a_n\)・・・④
\(a_1=1\), \(a_2=\displaystyle\frac{1}{2}\) と④から
\(a_{3}(a_2-2a_1)≠0\)。したがって\(a_3≠0\)で、同様のことを繰り返すと任意の\(n\)で \(a_{n}≠0\)
③を\(a_{n+2}a_{n+1}a_{n}\)で割って
\(\displaystyle\frac{1}{a_n}-2\cdot\displaystyle\frac{1}{a_{n+1}}+\displaystyle\frac{1}{a_{n+2}}=0\) (3項間漸化式)
\(b_n=\displaystyle\frac{1}{a_n}\) とおくと
\(b_n-2b_{n+1}+b_{n+2}=0\)・・・(注)
\(b_1=\displaystyle\frac{1}{a_1}=1\)
\(b_2=\displaystyle\frac{1}{a_2}=2\)
特性方程式 \(1-2x+x^2=0\) を解くと
\((x-1)^2=0\) より \(x=1\)
よって\(b_n\)の漸化式は次のように変形できる。
\(b_{n+2}-b_{n+1}=b_{n+1}-b_n\)
ゆえに
\(b_{n+1}-b_{n}=b_{n}-b_{n-1}=\cdots=b_2-b_1=1\)
\(b_{n+1}-b_{n}=1\) (等差型) より
\(b_n=b_1+(n-1)\cdot1=n\)
したがって
\(a_n=\displaystyle\frac{1}{b_n}=\)\(\displaystyle\frac{1}{n}\)
(注)
\(b_n-2b_{n+1}+b_{n+2}=0\) より
\(b_{n}+b_{n+2}=2b_{n+1}\) (真ん中の2倍が両側の和)
これは等差数列であることを示しています。
以上になります。お疲れさまでした。
ここまで見ていただきありがとうございました。
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