an+1=f(n)an 型

\(\require{cancel}\)

\(a_{n+1}=f(n)a_n\)  型の漸化式の解き方について見ていきます。

 

(例題1)
次の条件で定義される数列\(\{a_n\}\)の一般項を求めよ。
\(a_1=\displaystyle\frac{2}{3}\), \(a_n=\displaystyle\frac{n-1}{n+2}a_{n-1}\) (\(n=2,3,4,\cdots\))

 

 

①変形して1つずれた形にする方法
②1つずつ項を下げていく方法
の2通りの解法を紹介します。

(解答1)1つずれた形にする方法

漸化式の分母を払うと
\((n+2)a_n=(n-1)a_{n-1}\)
このままだと係数が1つずれた形になっていないので、左辺の\((n+2)\)に対応する\((n+1)\),右辺の\((n-1)\)に対応する\(n\)を考えて、両辺に \(n(n+1)\) を掛け
\(n(n+1)(n+2)a_n=(n-1)n(n+1)a_{n-1}\)
とすれば1つずれた形になります。

\(a_n=\displaystyle\frac{n-1}{n+2}a_{n-1}\)
の両辺に \(n(n+1)(n+2)\) を掛けて

\(n(n+1)(n+2)a_n=(n-1)n(n+1)a_{n-1}\)

ここで、\(b_n=n(n+1)(n+2)a_n\) とおくと
\(b_1=1\cdot2\cdot3a_1=4\)
\(b_n=b_{n-1}\)

漸化式 \(b_n=b_{n-1}\)
はすべての項の値が等しいことを表しています。(公比\(1\)の等比数列や公差\(0\)の等差数列と考えてもよい)
よって \(b_n=b_1\) です。

\(b_n=b_{n-1}=b_{n-2}=\cdots=b_1\) より

\(b_n=4\)

したがって
\(a_n=\displaystyle\frac{b_n}{n(n+1)(n+2)}\)

\(=\displaystyle\frac{4}{n(n+1)(n+2)}\)

 

(解答2)1つずつ項を下げていく方法

\(a_n=\cdots\) の形になっているので、この漸化式からダイレクトに1つずつ項を下げていきます。
\(a_n=\displaystyle\frac{n-1}{n+2}\color{blue}{a_{n-1}}\)・・・①
で\(n→n-1\) とすると
\(\color{blue}{a_{n-1}}=\displaystyle\frac{n-2}{n+1}a_{n-2}\)・・・②
となりますが、これを①に代入すると
\(a_n=\displaystyle\frac{n-1}{n+2}\cdot\displaystyle\frac{n-2}{n+1}a_{n-2}\)・・・③
となり、③は\(n\)から\(n-2\)の漸化式になっています。この操作を繰り返すと
\(a_n=\displaystyle\frac{n-1}{n+2}\cdot\displaystyle\frac{n-2}{n+1}\cdots a_1\)
という形に持っていくことができます。分数の積が続く形ですが、大部分は約分できます。

\(a_n=\displaystyle\frac{n-1}{n+2}a_{n-1}\)・・・①

\(=\displaystyle\frac{n-1}{n+2}\cdot\displaystyle\frac{n-2}{n+1}a_{n-2}\)

\(=\displaystyle\frac{\bcancel{n-1}}{n+2}\cdot\displaystyle\frac{\bcancel{n-2}}{n+1}\cdot\displaystyle\frac{\bcancel{n-3}}{n}\cdot\displaystyle\frac{\bcancel{n-4}}{\bcancel{n-1}}\cdots\)
\(\cdots\displaystyle\frac{\bcancel{4}}{\bcancel{7}}\cdot\displaystyle\frac{3}{\bcancel{6}}\cdot\displaystyle\frac{2}{\bcancel{5}}\cdot\displaystyle\frac{1}{\bcancel{4}}\cdot a_1\)

終わりのほうの分数は、漸化式①に\(n=2\)を代入した式
\(a_2=\displaystyle\frac{2-1}{2+2}a_{1}=\displaystyle\frac{1}{4}a_{1}\)
を考えます。

よって
\(a_n=\displaystyle\frac{3\cdot2\cdot1}{(n+2)(n+1)n}a_1\)

\(=\displaystyle\frac{6}{n(n+1)(n+2)}\cdot\displaystyle\frac{2}{3}\)

\(=\displaystyle\frac{4}{n(n+1)(n+2)}\)

 

 

 

(例題2)
次の漸化式で定義される数列\(\{a_n\}\)の一般項を求めよ。
\(a_1=-1\), \(a_{n+1}=-(n+1)a_n\)

 

 

\(a_n\)のほうにしか係数がないので単純に数個の文字式で割ったり掛けたりしてもうまくいきません。そこで思い切って\((n+1)!\)で割る
\(\displaystyle\frac{a_{n+1}}{(n+1)!}=-\displaystyle\frac{a_n}{n!}\)
と1つずれた形になります。

(解答1)1つずれた形にする
\(a_{n+1}=-(n+1)a_n\)
の両辺を\((n+1)!\)で割ると

\(\displaystyle\frac{a_{n+1}}{(n+1)!}=-\displaystyle\frac{a_n}{n!}\)

\(b_n=\displaystyle\frac{a_n}{n!}\) とおくと

\(b_1=\displaystyle\frac{a_1}{1!}=-1\)
\(b_{n+1}=-b_n\)  (等比型)

よって
\(b_n=(-1)\cdot(-1)^{n-1}=(-1)^n\)

したがって
\(a_n=n!b_n=\)\(n!\cdot(-1)^n\)

 

(解答2)項を1つずつ下げる方法

\(a_n\)スタートにするために漸化式を
\(a_{n}=-na_{n-1}\)
と変形しておきます。この式から得られる \(a_{n-1}=-(n-1)a_{n-2}\) を代入すると
\(a_{n}=(-n)\{-(n-1)\}a_{n-2}\)
となり、この操作を繰り返すと\(a_1\)まで項を下げることができて、一般項が得られます。\(n!\)が出てくることはわかると思うので、あとは\(-1\)の掛ける個数を数えます。

\(a_{n}=-na_{n-1}\)・・・①
\(=(-n)\{-(n-1)\}a_{n-2}\)
\(=(-n)\{-(n-1)\}\{-(n-2)\}\cdots(-2)\cdot a_1\)・・・②

積の最後のほうは、①に\(n=2\)を代入した式
\(a_2=-2a_1\)
から考えます。②の文字の積については\(n!\)で、\(-1\)の積の個数については\(2~n-1\) までなので\(n-1\)個です。

よって
\(a_n=n!\cdot(-1)^{n-1}a_1\)
\(=n!\cdot(-1)^{n-1}\cdot(-1)\)
\(=n!\cdot(-1)^{n}\)

 

 

 

 

以上になります。お疲れさまでした。
ここまで見ていただきありがとうございました。
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