・2重根号の外し方
平方根の中にさらに平方根があるような形を2重根号といいます。
(例)\(\sqrt{5+2\sqrt{6}}\)
このような2重根号をキレイにするには外側のルートを外そうと考えます。中身を(・・・)\(^2\)の形に変形すれば外側のルートが外せそうですね。2乗の形を作る際には以下の式を利用します。
\((\sqrt{a}±\sqrt{b})^2=a+b±2\sqrt{ab}\)
よって \( a＞0,b＞0\) のとき
\(\sqrt{a+b±2\sqrt{ab}}\)
\(=\sqrt{(\sqrt{a}±\sqrt{b})^2}\)
\(=\sqrt{a}±\sqrt{b}\) (ただし \(a＞b\))
つまり\(\sqrt{p±2\sqrt{q}}\)の形をしている2重根号を外すには、足して\(p\),掛けて\(q\)になる2数を探せばよいことになります。その2数を\(a,b\)とすれば、\(\sqrt{a}±\sqrt{b}\)と変形できますね。ただし負の符号が含まれる場合は、\(\sqrt{p-2\sqrt{q}}＞0\) より \(a＞b\)に注意してください。
(例)\(\sqrt{5+2\sqrt{6}}\)の2重根号を外してみましょう。
足して5、掛けて6になる2数は 3と2なので、
\(\sqrt{5+2\sqrt{6}}\)
\(=\sqrt{3+2+2\sqrt{3×2}}\)
\(=(\sqrt{3}+\sqrt{2})^2\)
\(=\sqrt{3}+\sqrt{2}\)
負の符号が含まれる場合も2数の大小に注意する以外は、同様に処理できます。
\(\sqrt{9-4\sqrt{5}}\)
\(=\sqrt{9-2\sqrt{20}}\) ←\(2\sqrt{・・}\)の形を無理やり作る
\(=\sqrt{5+4-2\sqrt{5×4}}\)
\(=\sqrt{(\sqrt{5}-\sqrt{4})^2}\)
\(=\sqrt{5}-\sqrt{4}\)
最後にもう1問
\(\sqrt{3+\sqrt{5}}\)
\(=\sqrt{\displaystyle\frac{6+2\sqrt{5}}{2}}\) ←ルートの中身を分数にして\(2\sqrt{・・}\)をつくる
\(=\displaystyle\frac{\sqrt{5}+1}{\sqrt{2}}\)
\(=\displaystyle\frac{\sqrt{10}+\sqrt{2}}{2}\)
以上になります。お疲れさまでした。
ここまで見て頂きありがとうございました。