高次式の次数下げ

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(問題)
\(x=2+\sqrt{5}\) のとき  \(P=x^4-2x^3+x^2-2x\) の値を求めよ。

そのまま代入しても一応値は出ますが、かなり大変です。ここで有効な手段が次数下げです。どういう方法なのかというとまず与えられた条件式を変形します。

\(x-2=\sqrt{5}\)より両辺を2乗して
\((x-2)^2=5\)
\(x^2-4x+4=5\)
\(x^2=4x+1\)

\(x\)の2次と1次の関係が表されました。2次→1次と変形(次数下げ)を行っていきます。

\(x^3\)
\(=x^2x\)
\(=(4x+1)x\)
\(=4x^2+x\)
\(=4(4x+1)+x\)
\(=17x+4\)

\(x^4\)
\(=x^3x\)
\(=(17x+4)x\)←上の式\(x^3=17x+4\)を利用
\(=17x^2+4x\)
\(=17(4x+1)+4x\)
\(=72x+17\)

 

以上より
\(P=(72x+17)-2(17x+4)+(4x+1)-2x\)
\(=40x+10\)
\(=40(2+\sqrt{5})+10\) ←最後に\(x=2+\sqrt{5}\) を代入
\(=90+40\sqrt{5}\)

 

※整式の除法(数Ⅱ)の方法でも解くこともできます。
\(x^2=4x+1\)を変形して
\(x^2-4x-1=0\)

\(P=x^4-2x^3+x^2-2x\) を \(x^2-4x-1\) で割ると
商は\(x^2+2x+10\)  余りは \(40x+10\)なので

\(P=x^4-2x^3+x^2-2x\)
\(=(x^2-4x-1)(x^2+2x+10)+40x+10\)

\(x=2+\sqrt{5}\)を代入すると \(x^2-4x-1=0\)より
\(P=40x+10=90+40\sqrt{5}\)

 

以上になります。お疲れさまでした。

ここまで見て頂きありがとうございました。

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