\(x,y\)の2次式が2直線を表す条件について見ていきます。
(例題)
(1)方程式 \((3x+y-1)(x-y+3)=0\) は座標平面上でどのようなグラフを描くか。
(2)方程式 \(2x^2+3xy+y^2+ax\)\(-4y+3\)\(=0\) が2直線を表すように、実数の定数\(a\)の値を求めよ。
(解答)
(1)
\(3x+y-1=0\) または \(x-y+3=0\) より
2直線 \(3x+y-1=0\), \(x-y+3=0\) を描く。
(2)
解法は解の公式による因数分解と、判別式を利用した方法で解いてみます。(別解や詳細は →完全平方式と因数分解 を参照してください)
\(2x^2+3xy+y^2+ax\)\(-4y+3\)\(=0\) が2直線を表すためには、左辺が\(x,y\)の1次式の積に因数分解されなければならない。
\(x\)について整理して
\(2x^2+(3y+a)x+y^2\)\(-4y+3\)\(=0\)・・・①
\(x\)について解くと
\(x=\displaystyle\frac{-(3y+a)±\sqrt{D}}{4}\)
ただし \(D=(3y+a)^2-8(y^2-4y+3)\)\(=y^2+2(3a+16)y\)\(+a^2-24\)
よって①は
\(2(x-\displaystyle\frac{-(3y+a)+\sqrt{D}}{4})\)\((x-\displaystyle\frac{-(3y+a)-\sqrt{D}}{4})\)\(=0\)
と表される。
これが1次式の積となるので、\(D\)が\(y\)の完全平方式((\(y\)の1次式)\(^2\))となる。
\(D=y^2+2(3a+16)y\)\(+a^2-24\) の判別式を\(D’\)とすると
\(\displaystyle\frac{D’}{4}\)\(=(3a+16)^2-(a^2-24)\)\(=8a^2+96a+280\)\(=0\)
よって
\(a^2+12a+35=0\)
\((a+7)(a+5)=0\) より \(a=-7,-5\)
以上になります。お疲れさまでした。
ここまで見て頂きありがとうございました。
next→2直線の交点を通る直線 back→共線・共点②