共通接線

2円の共通接線に関する問題について見ていきます。

(例題)
2つの円
\(C_1:x^2+y^2=4\), \(C_2:(x-4)^2+y^2=1\) の両方に接する直線の方程式を求めよ。

(解答)

\(C_1:x^2+y^2=4\) 上の接点の座標を\((s,t)\)とおくと
\(s^2+t^2=4\)・・・①

またこの点における接線の方程式は
\(sx+ty=4\)・・・②

②が \(C_2:(x-4)^2+y^2=1\) に接するので、直線② \(sx+ty-4=0\) と\(C_2\)の中心\((4,0)\)の距離が半径\(1\)となる。よって
\(\displaystyle\frac{|4s-4|}{\sqrt{s^2+t^2}}=1\)
①より
\(|s-1|=\displaystyle\frac{1}{2}\)
\(s-1=±\displaystyle\frac{1}{2}\) だから
\(s=\displaystyle\frac{3}{2},\displaystyle\frac{1}{2}\)

①より
\(s=\displaystyle\frac{3}{2}\)のとき、\(t=±\displaystyle\frac{\sqrt{7}}{2}\)
\(s=\displaystyle\frac{1}{2}\)のとき、\(t=±\displaystyle\frac{\sqrt{15}}{2}\)

したがって②より接線の方程式は
\(\displaystyle\frac{3}{2}x±\displaystyle\frac{\sqrt{7}}{2}y=4\),　\(\displaystyle\frac{1}{2}x±\displaystyle\frac{\sqrt{15}}{2}y=4\)

両辺2倍して
\(3x±\sqrt{7}y=8\),　\(x±\sqrt{15}y=8\)

その他2円の位置関係の共通接線の本数は次の通りです。

以上になります。お疲れさまでした。
ここまで見て頂きありがとうございました。
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