指数と対数が混ざった式に関する問題について見ていきます。
(例題1)
\((\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}})^{3\log_{2}5}\) の値を求めよ。
(解答1)
\(t=(\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}})^{3\log_{2}5}\) とおいて、両辺底\(2\)の対数をとると
\(\log_{2}t\)\(=\log_{2}(\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}})^{3\log_{2}5}\)
\(=(3\log_{2}5)(\log_{2}\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}})\)
\(=-\displaystyle\frac{3}{2}\log_{2}5\)
\(=\log_{2}5^{-\frac{3}{2}}\)
よって最初と最後の真数を比べて
\(t=5^{-\frac{3}{2}}\)\(=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{5^3}}\)\(=\displaystyle\frac{\sqrt{5}}{25}\)
(解答2)
\(a^{\log_{a}M}=M\)
を利用しても解くことができます。(この式は対数と指数の底がどちらも\(a\)で共通していることがポイントです。)
\((\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}})^{3\log_{2}5}\)
\(=2^{-\frac{3}{2}\log_{2}5}\)
\(=2^{\log_{2}5^{-\frac{3}{2}}}\)
\(=5^{-\frac{3}{2}}\)
\(=\displaystyle\frac{\sqrt{5}}{25}\)
(例題2)
\(0\)でない実数 \(x,y,z\) が \(2^x=5^y=10^{\frac{z}{2}}\)
を満たすとき、\(\displaystyle\frac{1}{x}+\displaystyle\frac{1}{y}-\displaystyle\frac{2}{z}\) の値を求めよ。
(解答)
\(2^x=5^y=10^{\frac{z}{2}}\) の辺々 底\(2\) とする対数をとると
\(x=y\log_{2}5=\displaystyle\frac{z}{2}\log_{2}10\)・・・①
①より
\(y=\displaystyle\frac{x}{\log_{2}5}\)・・・②
\(z=\displaystyle\frac{2x}{\log_{2}10}\)・・・③
②③より
\(\displaystyle\frac{1}{x}+\displaystyle\frac{1}{y}-\displaystyle\frac{2}{z}\)
\(=\displaystyle\frac{1}{x}+\displaystyle\frac{\log_{2}5}{x}-\displaystyle\frac{2\log_{2}10}{2x}\)
\(=\displaystyle\frac{1}{x}(1+\log_{2}5-\log_{2}10)\)
\(=\displaystyle\frac{1}{x}\{1+\log_{2}5-(\log_{2}2+\log_{2}5)\}\)
\(=0\)
以上になります。お疲れさまでした。
ここまで見て頂きありがとうございました。
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