整式の微分について考えていきます。
・導関数
関数 \(f(x)=x^2\) の \(x=a\) における微分係数\(f'(a)\)は
\(f'(a)=\displaystyle\lim_{h \to 0}\displaystyle\frac{f(a+h)-f(a)}{h}\)・・・①
\(=\displaystyle\lim_{h \to 0}\displaystyle\frac{(a+h)^2-a^2}{h}\)
\(=\displaystyle\lim_{h \to 0}\displaystyle\frac{2ah+h^2}{h}\)
\(=2a\)
となりますが、\(f'(a)=2a\) は、\(a\)の値が変化すると\(f'(a)\)の値も変化するので、\(f'(a)\)は\(a\)の関数とみることができます。
そこで、①において\(a\)を変数\(x\)に置き換えると
\(f'(x)=\displaystyle\lim_{h \to 0}\displaystyle\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\)・・・②
であり、\(f'(x)\) は\(x\)の関数となります。この\(f'(x)\)を\(f(x)\)の導関数とよび、\(f(x)\)から導関数\(f'(x)\)を求めることを、「\(f(x)\)を(\(x\)について)微分する」といいます。
関数\(y=f(x)\)の導関数を表す記号として、\(f'(x)\)はよく使われますが、他にも
\(y’\), \(\displaystyle\frac{dy}{dx}\), \(\displaystyle\frac{d}{dx}f(x)\)
なども用いられます。
また、②式の分母は \(x\)の変化量であり、分子は\(y\)の変化量なので、これらを\(x\)の増分、\(y\)の増分とし、それぞれを記号 \(Δx\), \(Δy\) で表すと、(\(Δ\)はデルタと読む)
\(h=Δx\)
\(f(x+h)-f(x)=Δy\)
より、導関数は②から次のようにも表されます。
\(f'(x)=\displaystyle\lim_{Δx \to 0}\displaystyle\frac{Δy}{Δx}=\displaystyle\lim_{Δx \to 0}\displaystyle\frac{f(x+Δx)-f(x)}{Δx}\)
(関係式は \(\displaystyle\frac{dy}{dx}=\lim_{Δx \to 0}\displaystyle\frac{Δy}{Δx}\) となります)
・整式の導関数
毎回微分の定義を用いて導関数を求めるのは大変なので(もちろん定義を用いて求めることができるようにはしておく)、整式一般について導関数がどうなるかを考えてみます。
\(f(x)=x^n\) (\(n\)は自然数) において
\(f'(x)=\displaystyle\lim_{h \to 0}\displaystyle\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\)
\(=\displaystyle\lim_{h \to 0}\displaystyle\frac{(x+h)^n-x^n}{h}\)・・・③
ここで2項定理より
\((x+h)^n=x^n+{}_n\mathrm{C}_1x^{n-1}h+(hについて2次以上の項)\)
だから、
\((x+h)^n=x^n+{}_n\mathrm{C}_1x^{n-1}h+Th^2\)
とおけて (\(n=1\) のときは \(T=0\) とすればよい)
\(f'(x)\)\(=\displaystyle\lim_{h \to 0}\displaystyle\frac{x^n+{}_n\mathrm{C}_1x^{n-1}h+Th^2-x^n}{h}\)
\(=\displaystyle\lim_{h \to 0}({}_n\mathrm{C}_1x^{n-1}+Th)\)
\(=nx^{n-1}\)
また、定数関数 \(f(x)=k\) については
\(f'(x)\)\(=\displaystyle\lim_{h \to 0}\displaystyle\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\)
\(=\displaystyle\lim_{h \to 0}\displaystyle\frac{k-k}{h}\)・・・④
\(=\displaystyle\lim_{h \to 0}0\)
\(=0\)
\((x^{n})’=nx^{n-1}\) (\(n\)は自然数)
\((k)’=0\) (\(k\)は定数)
また、\(\displaystyle\lim_{h \to 0}\displaystyle\frac{0}{h}\)・・・④ は不定形ではありません。不定形は 分母→0 のとき 分子→0 (分子が0に近づく)であって、④の分子は\(0\)そのものです。
・導関数の性質
導関数の和(差)・定数倍について次の公式が成り立ちます。
(1)\((ku)’=ku’\)
(2)\((u±v)’=u’±v’\)
(1)(2)をまとめると
\((ku+lv)’=ku’+lv’\)
いずれもそれぞれの導関数を求めて、定数倍や和(差)をとればよいという当たり前のような公式です。ただし、積や商については別の公式になり(どちらも数Ⅲの範囲)、積だけは有用なので次回扱いたいと思います。
(証明)
(1)
\((ku)’\)
\(=\displaystyle\lim_{Δx \to 0}\displaystyle\frac{k\cdot u(x+Δx)-k\cdot u(x)}{Δx}\)
\(=\displaystyle\lim_{Δx \to 0}k\cdot\displaystyle\frac{u(x+Δx)-u(x)}{Δx}\)
\(=ku’\)
(2)
\((u+v)’\)
\(=\displaystyle\lim_{Δx \to 0}\displaystyle\frac{u(x+Δx)+v(x+Δx)-\{u(x)+v(x)\}}{Δx}\)
\(=\displaystyle\lim_{Δx \to 0}\{\displaystyle\frac{u(x+Δx)-u(x)}{Δx}+\displaystyle\frac{v(x+Δx)-v(x)}{Δx}\}\)
\(=u’+v’\)
(差のほうも同様)
(3)
(2)(1)より
\((ku+lv)’=(ku)’+(lv)’=ku’+lv’\)
(例題)次の関数を微分せよ。
(1)\(y=3x^2-5x+6\)
(2)\(y=x^4-4x^3+3x^2-2x+1\)
(3)\(y=x^6-2x^5-3x^4\)
(1)
\(y=3x^2-5x+6\) において
\(y’=3\cdot2x-5\cdot 1x^{0}+0\)\(=6x-5\)
(2)
\(y=x^4-4x^3+3x^2-2x+1\) において
\(y’=4x^3-4\cdot3x^2+3\cdot2x-2\cdot1x^{0}+0\)
\(=4x^3-12x^2+6x-2\)
(3)
\(y=x^6-2x^5-3x^4\) において
\(y’=6x^5-10x^4-12x^3\)
以上になります。お疲れさまでした。
ここまで見て頂きありがとうございました。
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