平面の方程式

平面の方程式について見ていきます。
まずは簡単な座標軸に垂直な平面から始めていきます。

 

・座標軸に垂直な平面(\(xy,yz,zx\)平面に平行な平面)

点\(P(a,b,c)\)を通り、\(x\)軸に垂直な平面を\(α\)とすると、\(α\)と\(x\)軸との交点\(A\)の座標は \((a,0,0)\) です。平面\(α\)は\(x\)座標が常に\(a\)で、\(y,z\)座標は任意である点の集合なので、平面\(α\)の方程式は \(x=a\) となります。同様に\(P\)を通り\(y\)軸,\(z\)軸に垂直な平面の方程式は、それぞれ \(y=b\), \(z=c\) となります。

とくに \(a=0\) とすると、「\(x=0\) は \(yz\)平面」を表し、
同様に、「\(y=0\) は \(zx\)平面」、「\(z=0\) は \(xy\)平面」を表します。

また図より、\(x=a\) は \(x=0\) つまり \(yz\)平面に平行であり、
同様に、\(y=b\) は \(zx\)平面に平行、\(z=c\) は \(xy\)平面に平行となります。

 

 

 

 

 

・平面の方程式(同一平面上にある条件)

(解説)
同じ直線上にない3点 \(A(\vec{a})\), \(B(\vec{b})\), \(C(\vec{c})\) を通る平面を\(α\)とします。(\(A,B,C\)が同一直線上にあると平面が1つに定まらない)

点\(P(\vec{p})\)が\(α\)上にあるとき、実数\(s,t\)を用いて\(\overrightarrow{AP}\)を次のように表すことができます。

\(\overrightarrow{AP}=s\overrightarrow{AB}+t\overrightarrow{AC}\)・・・①
(\(A,B,C\)が一直線上にないためにこの形で表せます。)

よって
\(\vec{p}-\vec{a}=s(\vec{b}-\vec{a})+t(\vec{c}-\vec{a})\)
\(\vec{p}=(1-s-t)\vec{a}+s\vec{b}+t\vec{c}\)

ここで、係数の和が \((1-s-t)+s+t=1\) になることに着目して
\(1-s-t=r\) とおくと\(r\)も実数であり

\(\vec{p}=r\vec{a}+s\vec{b}+t\vec{c}\)　(\(r+s+t=1\))・・・②

また、②のベクトルの等式について位置ベクトルの基準を\(O\)とすると次のように表されます。

\(\overrightarrow{OP}=r\overrightarrow{OA}+s\overrightarrow{OB}+t\overrightarrow{OC}\)　(\(r+s+t=1\))

 

 

 

 

・平面の方程式(法線ベクトル)
平面に垂直な直線は、平面に含まれるどの直線にも垂直であることを利用して、平面の方程式を求めることもできます。

(解説)

\(\vec{n}\)は、平面に含まれる任意の直線に垂直なので

\(\overrightarrow{AP} \perp \vec{n}\)　または　\(\overrightarrow{AP}=\vec{0}\) (\(P\)が\(A\)に一致)

よって
\(\vec{n}\cdot\overrightarrow{AP}=0\)

したがって
\(\vec{n}\cdot(\vec{p}-\vec{a})=0\)・・・③

また、\(\vec{n}\)のように平面に垂直なベクトルを法線ベクトル、図の直線\(AN\)のような平面に垂直な直線を法線とよびます。

さらに、\(P(x,y,z)\), \(A(x_0,y_0,z_0)\)、法線ベクトルを \(\vec{n}=(a,b,c)\) とすると③より

\((a,b,c)\cdot(x-x_0,y-y_0,z-z_0)=0\)

よって
\(a(x-x_0)+b(y-y_0)+c(z-z_0)=0\)・・・④　(点\(A\)を通る平面の方程式)

さらに展開して 定数項を \(-ax_0-by_0-cz_0=d\) とおくと

\(ax+by+cz+d=0\)・・・⑤　(平面の方程式の一般形)

となります。すると\(x,y,z\)の1次方程式が平面を表し、④や⑤の形で表された平面の法線ベクトルの1つが係数をとった \((a,b,c)\) となっていることが分かります。

 

 

 

 

 

(例題1)
直線 \(l:\displaystyle\frac{x+1}{2}=\displaystyle\frac{y-1}{3}=\displaystyle\frac{z-1}{4}\) に垂直で、点\(A(2,2,2)\) を通る平面\(α\)の方程式を求めよ。

 

(解答)
平面\(α\)の法線ベクトルの1つが、直線\(l\)の方向ベクトル\((2,3,4)\)であり、平面\(α\)が点\(A(2,2,2)\)を通るから

\(2(x-2)+3(y-2)+4(z-2)=0\)

整理して
\(2x+3y+4z-18=0\)

 

(注)
直線の方程式の分母の数字をとったものが、直線の方向ベクトルとなることを知っていれば一瞬ですが、知らない場合には次のように考えます。

\(l:\displaystyle\frac{x+1}{2}=\displaystyle\frac{y-1}{3}=\displaystyle\frac{z-1}{4}=t\) とおいて

\(x+1=2t\)
\(y-1=3t\)
\(z-1=4t\) より

\(x=-1+2t\)
\(y=1+3t\)
\(z=1+4t\)

ベクトル表示にすると
\((x,y,z)=(-1,1,1)+t(2,3,4)\)

すると直線の方向ベクトルが\((2,3,4)\)となることが分かります。

 

 

 

(例題2)
3点 \(A(0,1,2)\), \(B(1,2,1)\), \(C(4,-1,2)\) を通る平面\(α\)の方程式を求めよ。

 

 

(解答1)法線ベクトルを求める方法

\(A(0,1,2)\), \(B(1,2,1)\), \(C(4,-1,2)\) より

\(\overrightarrow{AB}=(1,1,-1)\), \(\overrightarrow{AC}=(4,-2,0)\)

平面の法線ベクトルを \(\vec{n}=(a,b,c)\) とおくと
\(\vec{n}\cdot\overrightarrow{AB}=0\),　\(\vec{n}\cdot\overrightarrow{AC}=0\)

\(a+b-c=0\)・・・①　\(4a-2b=0\)・・・②

①②より \(b=2a\), \(c=3a\)

よって、\(\vec{n}=(a,2a,3a)\) であり\(a=1\)とすれば法線ベクトルの1つは
\(\vec{n}=(1,2,3)\)

平面\(α\)は\(A(0,1,2)\) を通るから (\(B\) or \(C\) でもよい)、平面の方程式は
\(1\cdot(x-0)+2(y-1)+3(z-2)=0\)

したがって
\(x+2y+3z-8=0\)

 

(解答2)平面の方程式の一般形に代入する方法
平面\(α\)の方程式を
\(ax+by+cz+d=0\) とおく。

\(A(0,1,2)\), \(B(1,2,1)\), \(C(4,-1,2)\) を通るから

\(0+b+2c+d=0\)・・・③
\(a+2b+c+d=0\)・・・④
\(4a-b+2c+d=0\)・・・⑤

⑤－③より
\(4a-2b=0\)
よって \(b=2a\)

④－③より
\(a+b-c=0\)
よって \(c=3a\)

③より \(d=-8a\)

したがって平面の方程式は
\(ax+2ay+3az-8a=0\)

\(a=0\) とすると平面を表さないので、\(a≠0\)
ゆえに、求める方程式は
\(x+2y+3z-8=0\)

 

(解答3)同一平面上にある条件を利用する方法

平面\(α\)上の点を\(P(x,y,z)\)とすると、実数\(s,t\)を用いて

\(\overrightarrow{AP}=s\overrightarrow{AB}+t\overrightarrow{AC}\)

\(A(0,1,2)\), \(B(1,2,1)\), \(C(4,-1,2)\) より

\(\overrightarrow{AB}=(1,1,-1)\), \(\overrightarrow{AC}=(4,-2,0)\),  \(\overrightarrow{AP}=(x,y-1,z-2)\) だから

\((x,y-1,z-2)=s(1,1,-1)+t(4,-2,0)\)
成分を比較して

\(x=s+4t\)・・・⑥
\(y-1=s-2t\)・・・⑦
\(z-2=-s\)・・・⑧

⑧を⑥⑦に代入して
\(x=-z+2+4t\)・・・⑨
\(y-1=-z+2-2t\)・・・⑩

⑩から \(4t=-2y-2z+6\)
これを⑨に代入して
\(x=-z+2-2y-2z+6\)

整理して
\(x+2y+3z-8=0\)

 

 

 

 

以上になります。お疲れさまでした。
ここまで見て頂きありがとうございました。
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