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\(g(n)a_{n+1}=f(n)a_n+q\) 型の漸化式の解き方について見ていきます。
(例題1)
次の条件によって定義される数列\(\{a_n\}\)の一般項を求めよ。
\(a_1=4\), \(na_{n+1}=(n+1)a_n+1\)
\(a_n\)の係数が\(n+1\)でこちらのほうが1つ大きいためこのままでは置き換えができません。そこで係数を入れ替えるために、両辺を\(n(n+1)\)で割ることを考えます。
(解答)
\(na_{n+1}=(n+1)a_n+1\)
の両辺を\(n(n+1)(≠0)\)で割って
\(\displaystyle\frac{a_{n+1}}{n+1}=\displaystyle\frac{a_n}{n}+\displaystyle\frac{1}{n(n+1)}\)
ここで \(b_n=\displaystyle\frac{a_n}{n}\) とおくと
\(b_1=\displaystyle\frac{a_1}{1}=4\)
\(b_{n+1}=b_n+\displaystyle\frac{1}{n(n+1)}\) (階差型)
よって\(n≧2\) のとき
\(b_n=b_1+\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}\displaystyle\frac{1}{k(k+1)}\)
(部分分数分解して)
\(=4+\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}(\displaystyle\frac{1}{k}-\displaystyle\frac{1}{k+1})\)
\(=4+(1-\bcancel{\displaystyle\frac{1}{2}})+(\bcancel{\displaystyle\frac{1}{2}}-\bcancel{\displaystyle\frac{1}{3}})+\cdots+(\bcancel{\displaystyle\frac{1}{n-1}}-\displaystyle\frac{1}{n})\)
\(=5-\displaystyle\frac{1}{n}\)
(\(n=1\)でも成立)
したがって
\(a_n=nb_n\) より
\(a_n=5n-1\)
\(\displaystyle\frac{a_{n+1}}{n+2}=\displaystyle\frac{a_n}{n}+\displaystyle\frac{1}{n(n+2)}\)
の \(\displaystyle\frac{a_{n+1}}{n+2},\displaystyle\frac{a_n}{n}\) の分母は1つずれた形になっていません。そこで\(n,n+2\)の間の\(n+1\)でさらに割ることで
\(\displaystyle\frac{a_{n+1}}{(n+1)(n+2)}=\displaystyle\frac{a_n}{n(n+1)}+\displaystyle\frac{1}{n(n+1)(n+2)}\)
と1つずれた形にすることができます。
(例題2)
次の条件によって定義される数列\(\{a_n\}\)の一般項を求めよ。
\(a_1=1\), \(2a_{n+1}=\displaystyle\frac{n}{n+1}a_n+\displaystyle\frac{(-1)^{n+1}}{n+1}\)
\(2(n+1)a_{n+1}=na_n+(-1)^{n+1}\)
となり、\((n+1)a_{n+1}\)と\(na_n\)が1つずれた形をしています。\(na_n=b_n\)と置き換えると
\(2b_{n+1}=b_n+(-1)^{n+1}\) となり指数型の漸化式になるので\((-1)^{n+1}\)で割る方針をとるとまた置き換えが必要になってくるので、最初から\(\displaystyle\frac{n+1}{(-1)^{n+1}}\) 倍しておきます。
(解答)
\(2a_{n+1}=\displaystyle\frac{n}{n+1}a_n+\displaystyle\frac{(-1)^{n+1}}{n+1}\)
の両辺に \(\displaystyle\frac{n+1}{(-1)^{n+1}}\) を掛けて
\(2\cdot\displaystyle\frac{n+1}{(-1)^{n+1}}a_{n+1}=\displaystyle\frac{n}{(-1)^{n+1}}a_n+1\)
(\((-1)^□\)の部分も1つずれた形にするため、\(a_n\)のほうを \((-1)^{n+1}=-(-1)^{n}\) と変形します)
\(2\cdot\displaystyle\frac{n+1}{(-1)^{n+1}}a_{n+1}=-\displaystyle\frac{n}{(-1)^{n}}a_n+1\)
ここで
\(b_n=\displaystyle\frac{n}{(-1)^{n}}a_n\) とおくと
\(b_1=\displaystyle\frac{1}{(-1)^{1}}a_1=-1\)
\(2b_{n+1}=-b_n+1\)・・・①
特性方程式 \(2α=-α+1\) より
\(α=\displaystyle\frac{1}{3}\)
①は \(b_{n+1}=-\displaystyle\frac{1}{2}b_n+\displaystyle\frac{1}{2}\) だから
\(b_{n+1}-\displaystyle\frac{1}{3}=-\displaystyle\frac{1}{2}(b_n-\displaystyle\frac{1}{3})\)
と変形できる。
よって
\(b_n-\displaystyle\frac{1}{3}=(b_1-\displaystyle\frac{1}{3})(-\displaystyle\frac{1}{2})^{n-1}\)
\(=-\displaystyle\frac{4}{3}(-\displaystyle\frac{1}{2})^{n-1}\)
\(=-\displaystyle\frac{4}{3}\cdot(-2)\cdot\displaystyle\frac{1}{(-2)^{n}}\)
\(=\displaystyle\frac{8}{3\cdot(-2)^{n}}\)
(\(b_n=\displaystyle\frac{n}{(-1)^{n}}a_n\)の置き換えの指数に合わせて \((-2)^n\) としました)
ゆえに
\(b_n=\displaystyle\frac{1}{3}\{1+\displaystyle\frac{8}{(-2)^{n}}\}\)
\(=\displaystyle\frac{(-2)^{n}+8}{3\cdot(-2)^{n}}\)
したがって
\(a_n=\displaystyle\frac{(-1)^{n}}{n}b_n\)
\(=\displaystyle\frac{(-1)^{n}}{n}\cdot\displaystyle\frac{(-2)^{n}+8}{3\cdot(-2)^{n}}\)
\(=\displaystyle\frac{(-2)^{n}+8}{3n\cdot\displaystyle\frac{(-2)^n}{(-1)^n}}\)
\(=\displaystyle\frac{(-2)^{n}+8}{3n\cdot(\displaystyle\frac{-2}{-1})^n}\)
\(=\displaystyle\frac{(-2)^{n}+8}{3n\cdot2^n}\)
以上になります。お疲れさまでした。
ここまで見ていただきありがとうございました。
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