文字を含む平方根の計算を例題を通して見てみよう。
その前に、もう1度公式の確認をします。
\(\sqrt{a^2}=|a|\)
文字を含む平方根を外すときは、絶対値をつけることを忘れずに。
(例題1)
\(\sqrt{x^2y^2}\)を簡単にせよ。 ただし \(x＜0,y＞0\)
(解答)
\(\sqrt{x^2y^2}=|xy|\)
\(xy＜0\)より
\(|xy|=-xy\)
\(\sqrt{x^2y^2}=|xy|\)
\(xy＜0\)より
\(|xy|=-xy\)
(例題2)
\(\sqrt{4a^2}-\sqrt{a^2-4a+4}\) の値を求めよ。
\(\sqrt{4a^2}-\sqrt{a^2-4a+4}\) の値を求めよ。
① \(a＜0\) ② \(0≦a＜2\) ③ \(a≧2\)
(解答)
\(\sqrt{4a^2}-\sqrt{a^2-4a+4}\)
\(=\sqrt{(2a)^2}-\sqrt{(a-2)^2}\)
\(=|2a|-|a-2|\)
\(\sqrt{4a^2}-\sqrt{a^2-4a+4}\)
\(=\sqrt{(2a)^2}-\sqrt{(a-2)^2}\)
\(=|2a|-|a-2|\)
① \(a＜0\) のとき
\(2a＜0\)、 \(a-2＜0\)だから
(与式)
\(=-2a-\{-(a-2)\}=-a-2\)
② \(0≦a＜2\) のとき
\(2a≧0\)、 \(a-2＜0\)だから
(与式)
\(=2a-\{-(a-2)\}=3a-2\)
③ \(a≧2\)のとき
\(2a＞0\)、 \(a-2≧0\)だから
(与式)
\(=2a-(a-2)=a+2\)
(例題3)
\(x=2a+1\)のとき、\(\sqrt{x^2-8a}+\sqrt{a^2+x}\) を\(a\)で表せ。
\(x=2a+1\)のとき、\(\sqrt{x^2-8a}+\sqrt{a^2+x}\) を\(a\)で表せ。
※例題2と同様に場合分けして考えます。
(解答)
\(x=2a+1\)を代入して
\(x=2a+1\)を代入して
(与式)
\(=\sqrt{4a^2-4a+1}+\sqrt{a^2+2a+1}\)
\(=\sqrt{(2a-1)^2}+\sqrt{(a+1)^2}\)
\(=|2a-1|+|a+1|\)
\(a<-1\)のとき
(与式)
\(=-(2a-1)-(a+1)\)
\(=-3a\)
\(-1≦a＜\displaystyle\frac{1}{2}\) のとき
(与式)
\(=-(2a-1)+a+1\)
\(=-a+2\)
\(a≧\displaystyle\frac{1}{2}\) のとき
(与式)
\(=2a-1+a+1\)
\(=3a\)
絶対値の中身が正と負になる分かれ目が、場合分けの分かれ目になります。
以上です。お疲れさまでした。
ここまで読んで頂きありがとうございました。