反復試行の確率を利用して、数直線を動く点の座標に関する問題について考えていきます。
(例題)
\(x\)軸上に点Pがある。さいころを投げて、6の約数の目が出たとき、Pは\(x\)軸の正の方向に1だけ進み、6の約数でない目が出たとき、Pは\(x\)軸の負の方向に1だけ進むことにする。さいころを4回投げたとき、原点から出発した点Pが原点にある確率は (ア) 、\(x=3\) の点にある確率は (イ)、\(x=-2\)の点にある確率は (ウ) である。
さいころを4回投げる試行なので、反復試行です。
(ア)～(ウ)それぞれの座標に点Pがあるためには、6の約数の目が何回でるかを計算します。
(ア)～(ウ)それぞれの座標に点Pがあるためには、6の約数の目が何回でるかを計算します。
(解答)
6の約数、1,2,3,6 が出る確率は、\(\displaystyle\frac{4}{6}=\displaystyle\frac{2}{3}\)、
6の約数でない目、4,5 が出る確率は、\(\displaystyle\frac{1}{3}\)また、6の約数の目が出る回数を\(k\)回とすると、4回さいころを投げたときの\(x\)座標は、
\(1×k+(-1)(4-k)=2k-4\) (\(k=0,1,2,3,4\))
6の約数でない目、4,5 が出る確率は、\(\displaystyle\frac{1}{3}\)また、6の約数の目が出る回数を\(k\)回とすると、4回さいころを投げたときの\(x\)座標は、
\(1×k+(-1)(4-k)=2k-4\) (\(k=0,1,2,3,4\))
(ア)
\(2k-4=0\) より、\(k=2\)
つまり、4回のうち、1,2,3,6の目が2回、それ以外の目が2回出ればよいので、求める確率は
\({}_4\mathrm{C}_2(\displaystyle\frac{2}{3})^2(\displaystyle\frac{1}{3})^2=\)\(\displaystyle\frac{8}{27}\)
\(2k-4=0\) より、\(k=2\)
つまり、4回のうち、1,2,3,6の目が2回、それ以外の目が2回出ればよいので、求める確率は
\({}_4\mathrm{C}_2(\displaystyle\frac{2}{3})^2(\displaystyle\frac{1}{3})^2=\)\(\displaystyle\frac{8}{27}\)
(イ)
\(2k-4=3\) を解くと、\(k=\displaystyle\frac{7}{2}\)
よって、\(2k-4=3\)を満たす、0から4の整数\(k\)は存在しない。
したがって、求める確率は \(0\)
\(2k-4=3\) を解くと、\(k=\displaystyle\frac{7}{2}\)
よって、\(2k-4=3\)を満たす、0から4の整数\(k\)は存在しない。
したがって、求める確率は \(0\)
(ウ)
\(2k-4=-2\) より、\(k=1\)
つまり、4回のうち、1,2,3,6の目が1回、それ以外の目が3回出ればよいので、求める確率は
\({}_4\mathrm{C}_1(\displaystyle\frac{2}{3})(\displaystyle\frac{1}{3})^3=\)\(\displaystyle\frac{8}{81}\)
\(2k-4=-2\) より、\(k=1\)
つまり、4回のうち、1,2,3,6の目が1回、それ以外の目が3回出ればよいので、求める確率は
\({}_4\mathrm{C}_1(\displaystyle\frac{2}{3})(\displaystyle\frac{1}{3})^3=\)\(\displaystyle\frac{8}{81}\)
以上になります。お疲れさまでした。
ここまで見て頂きありがとうございました。