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三角関数の相互関係の3式を使う、値を求める問題・証明問題について見ていきます。
(例題)
(1)\(\tanθ=\sqrt{2}\) のとき、\(\displaystyle\frac{1-\sinθ}{\cosθ}\)\(+\displaystyle\frac{\cosθ}{1-\sinθ}\) の値を求めよ。
(2)\((1+\tanθ+\displaystyle\frac{1}{\cosθ})\)\((1+\displaystyle\frac{1}{\tanθ}\)\(-\displaystyle\frac{1}{\sinθ})\) の値を求めよ。
(3)\(2(\cos^6θ+\sin^6θ)\)\(-3(\cos^4θ+\sin^4θ)\) の値を求めよ。
(4)\(\displaystyle\frac{4-9\cos^2θ-8\sinθ\cosθ}{7-\sin^2θ+17\sinθ\cosθ}\)\(=\displaystyle\frac{(ア)\tanθ-(イ )}{(ウ)\tanθ+(エ)}\) である。
\(\tanθ=\displaystyle\frac{\sinθ}{\cosθ}\) \(\tan^2θ+1=\displaystyle\frac{1}{\cos^2θ}\) より\(\cosθ\),\(\sinθ\)の式にする
・\(\sinθ,\cosθ\) の式では
\(\sin^2θ+\cos^2θ=1\) を利用する
ことが基本となります。できるだけ少ない種類の関数にするわけです。
また因数分解や、分数式の場合には分母分子に同じ数を掛ける(割る)などの操作をしていきます。
(解答)
(1)
\(\displaystyle\frac{1-\sinθ}{\cosθ}\)\(+\displaystyle\frac{\cosθ}{1-\sinθ}\)
\(=\displaystyle\frac{(1-\sinθ)^2+\cos^2θ}{\cosθ(1-\sinθ)}\) (通分した)
\(=\displaystyle\frac{\sin^2θ+\cos^2θ+1-2\sinθ}{\cosθ(1-\sinθ)}\)
\(=\displaystyle\frac{2-2\sinθ}{\cosθ(1-\sinθ)}\)
\(=\displaystyle\frac{2(1-\sinθ)}{\cosθ(1-\sinθ)}\)
\(=\displaystyle\frac{2}{\cosθ}\)・・・①
ここで、\(\tanθ=\sqrt{2}\) と \(\tan^2θ+1=\displaystyle\frac{1}{\cos^2θ}\) より
\(\displaystyle\frac{1}{\cos^2θ}=3\)
よって \(\displaystyle\frac{1}{\cosθ}=±\sqrt{3}\)
①より
(与式)\(=\)\(±2\sqrt{3}\)
(2)
\((1+\tanθ+\displaystyle\frac{1}{\cosθ})\)\((1+\displaystyle\frac{1}{\tanθ}\)\(-\displaystyle\frac{1}{\sinθ})\)
\(=(1+\displaystyle\frac{\sinθ}{\cosθ}+\displaystyle\frac{1}{\cosθ})\)\((1+\displaystyle\frac{\cosθ}{\sinθ}\)\(-\displaystyle\frac{1}{\sinθ})\) (通分した)
\(=(\displaystyle\frac{\color{red}{\cosθ+\sinθ}+1}{\cosθ})\)\((\displaystyle\frac{\color{red}{\cosθ+\sinθ}-1}{\sinθ})\) (分子を展開すると 2乗ー2乗 の形)
\(=\displaystyle\frac{(\cosθ+\sinθ)^2-1^2}{\sinθ\cosθ}\)
\(=\displaystyle\frac{\cos^2θ+\sin^2θ+2\sinθ\cosθ-1}{\sinθ\cosθ}\)
\(=\displaystyle\frac{1+2\sinθ\cosθ-1}{\sinθ\cosθ}\)
\(=\displaystyle\frac{2\sinθ\cosθ}{\sinθ\cosθ}\)
\(=\)\(2\)
(3)
\(2(\cos^6θ+\sin^6θ)\)\(-3(\cos^4θ+\sin^4θ)\)
\(=2\{(\cos^2θ)^3+\sin^6θ\}\)\(-3\{(\cos^2θ)^2+\sin^4θ\}\)
\(=2\{(1-\sin^2θ)^3+\sin^6θ\}\)\(-3\{(1-\sin^2θ)^2+\sin^4θ\}\) (\(\sinθ\)のみの式にした)
式を簡単にするため \(\sinθ=s\) とおくと
\(=2\{(1-s^2)^3+s^6\}\)\(-3\{(1-s^2)^2+s^4\}\)
\(=2(1-3s^2+3s^4\cancel{-s^6}+\cancel{s^6})\)\(-3(1-2s^2+s^4+s^4)\)
\(=(2-6s^2+6s^4)\)\(+(-3+6s^2-6s^4)\)
\(=\)\(-1\)
(4)
そこで、右辺が\(\tanθ\) の式であることに着目して分母分子を\(\cos^2θ\) で割ります。すると左辺は\(\tanθ\)のみの式で表されます。
\(\displaystyle\frac{4-9\cos^2θ-8\sinθ\cosθ}{7-\sin^2θ+17\sinθ\cosθ}\)
\(=\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{4}{\cos^2θ}-9-8\displaystyle\frac{\sinθ}{\cosθ}}{\displaystyle\frac{7}{\cos^2θ}-\displaystyle\frac{\sin^2θ}{\cos^2θ}+17\displaystyle\frac{\sinθ}{\cosθ}}\)
\(=\displaystyle\frac{4(1+\tan^2θ)-9-8\tanθ}{7(1+\tan^2θ)-\tan^2θ+17\tanθ}\)
\(=\displaystyle\frac{4\tan^2θ-8\tanθ-5}{6\tan^2θ+17\tan^2θ+7}\)
\(=\displaystyle\frac{(2\tanθ+1)(2\tanθ-5)}{(2\tanθ+1)(3\tanθ+7)}\)
\(=\)\(\displaystyle\frac{2\tanθ-5}{3\tanθ+7}\)
(例題2)
次の等式を証明せよ。
(1)\(\tan^2θ-\sin^2θ\)\(=\tan^2θ\sin^2θ\)
(2)\((\tanθ-\sinθ)^2\)\(+(1-\cosθ)^2\)\(=(\displaystyle\frac{1}{\cosθ}-1)^2\)
式の変形方法は(例題1)の値を求めるときと同様です。
(解答)
(1)
(左辺)
\(=\tan^2θ-\sin^2θ\)
\(=\displaystyle\frac{\sin^2θ}{\cos^2θ}-\sin^2θ\)
\(=\sin^2θ(\displaystyle\frac{1}{\cos^2θ}-1)\)
\(=\sin^2θ\tan^2θ\)
\(=\)(右辺)
よって証明された。
(2)
(左辺)
\(=(\tanθ-\sinθ)^2\)\(+(1-\cosθ)^2\)
\(=(\displaystyle\frac{\sinθ}{\cosθ}-\sinθ)^2\)\(+(1-\cosθ)^2\)
\(=\sin^2θ(\displaystyle\frac{1}{\cosθ}-1)^2\)\(+(1-\cosθ)^2\)
\(=\sin^2θ(\displaystyle\frac{1-\cosθ}{\cosθ})^2\)\(+(1-\cosθ)^2\) (共通因数 \((1-\cosθ)^2\)でくくる)
\(=(1-\cosθ)^2(\displaystyle\frac{\sin^2θ}{\cos^2θ}+1)\)
\(=(1-\cosθ)^2(\tan^2θ+1)\)
\(=(1-\cosθ)^2・\displaystyle\frac{1}{\cos^2θ}\)
\(=\{(1-\cosθ)・\displaystyle\frac{1}{\cosθ}\}^2\)
\(=(\displaystyle\frac{1}{\cosθ}-1)^2\)
\(=\)(右辺)
よって証明された。
三角関数の相互関係の公式を使いこなすには慣れが必要です。
練習を積み重ねましょう。
以上になります。お疲れさまでした。
ここまで見て頂きありがとうございました。
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