対数関数の微分

対数関数の微分について見ていきます。

・対数関数の導関数(ネイピア数\(e\)への収束)
底を\(a\)(\(1\)ではない正の定数)とする対数関数
\(f(x)=\log_{a}x\)
の導関数を微分の定義により求めてみると

\(f'(x)=\displaystyle\lim_{Δx \to 0}\displaystyle\frac{\log_{a}(x+Δx)-\log_{a}x}{Δx}\)

\(=\displaystyle\lim_{Δx \to 0}\displaystyle\frac{1}{Δx}\cdot\log_{a}(\displaystyle\frac{x+Δx}{x})\)

\(=\displaystyle\lim_{Δx \to 0}\displaystyle\frac{1}{Δx}\cdot\log_{a}(1+\displaystyle\frac{Δx}{x})\)

(見やすくするために \(\displaystyle\frac{Δx}{x}=h\) とおくと、\(Δx→0\) のとき \(h \to 0\) になるから)

\(=\displaystyle\lim_{h \to 0}\displaystyle\frac{1}{x}\cdot\displaystyle\frac{1}{h}\log_{a}(1+h)\)

\(=\displaystyle\lim_{h \to 0}\displaystyle\frac{1}{x}\cdot\log_{a}(1+h)^{\frac{1}{h}}\)・・・(i)

よって次の極限
\(\displaystyle\lim_{h \to 0}(1+h)^{\frac{1}{h}}\)・・・①
が分かれば、導関数も分かることになります。

この極限①は収束することが知られていて(注)、その値は\(0\)に近い値を代入することにより
\(2.71828・・・\)という値になることが分かっています。そこでこの極限値を\(e\)(ネイピア数とも呼ばれる)として表記します。

\(e=\displaystyle\lim_{h \to 0}(1+h)^{\frac{1}{h}}\)・・・②
具体的には \(e=2.71828・・・\)  (「似てないや」で覚えるとよい。なお無理数である)

②は両側極限が一致していることを表していますが、\(h \to +0\) と \(h \to -0\) に分けて、\(h=\displaystyle\frac{1}{n}\) と変換すると、次のように表すこともできます。

\(e=\displaystyle\lim_{n \to \infty}(1+\displaystyle\frac{1}{n})^n=\displaystyle\lim_{n \to -\infty}(1+\displaystyle\frac{1}{n})^n\)

ここで(i)について底を\(e\)にすれば、\(\log_{e}e=1\) となることから、対数関数では底を\(e\)とする場合がとても多いです。\(e\)を底とする対数は自然対数とよばれ、\(e\)を省略して単に\(\log x\) と表記されます。

したがって(i)より対数関数の導関数は次のようになります。
\((\log x)’=\displaystyle\lim_{h \to 0}\displaystyle\frac{1}{x}\cdot\log(1+h)^{\frac{1}{h}}=\displaystyle\frac{1}{x}\log e=\)\(\displaystyle\frac{1}{x}\)

\((\log_{a} x)’=\displaystyle\lim_{h \to 0}\displaystyle\frac{1}{x}\cdot\log_{a}(1+h)^{\frac{1}{h}}=\displaystyle\frac{1}{x}\log_{a} e=\)\(\displaystyle\frac{1}{x\log a}\)　(最後は底を変換した)

または、自然対数の導関数を微分の定義から
\((\log x)’=\displaystyle\lim_{h \to 0}\displaystyle\frac{1}{x}\cdot\log(1+h)^{\frac{1}{h}}=\)\(\displaystyle\frac{1}{x}\)
と求めてから、底を\(a\)とする対数の導関数は、底の変換により
\((\log_{a}x)’=(\displaystyle\frac{\log x}{\log a})’=\)\(\displaystyle\frac{1}{x\log a}\)
と求めてもよいです。

そして、\(f(x)=\log|x|\) の導関数についても場合分けすることにより

\(x>0\) のとき
\(f'(x)=(\log x)’=\displaystyle\frac{1}{x}\)

\(x<0\) のとき
合成関数の微分を利用して
\(f'(x)=\{\log(-x)\}’=\displaystyle\frac{1}{-x}\cdot(-1)=\displaystyle\frac{1}{x}\)

となるので、同じ式になります。\(f(x)=\log_{a}|x|\) も同様です。

(例題)次の関数を微分せよ。
(1)\(y=(\log x)^3\)

(2)\(y=\log_{10}(-x^2+4x-3)\)

(3)\(y=\displaystyle\frac{\log x}{x^2}\)

(4)\(y=\log(\log x)\)

(5)\(y=\log\sqrt{1+\sin^2x}\)

(解答)
(1)
\(y=(\log x)^3\)
\(y’=3(\log x)^2\cdot(\log x)’=\)\(\displaystyle\frac{3(\log x)^2}{x}\)

(2)
\(y=\log_{10}(-x^2+4x-3)=\displaystyle\frac{\log(-x^2+4x-3)}{\log 10}\) より

\(y’=\displaystyle\frac{1}{\log 10}\cdot\displaystyle\frac{1}{-x^2+4x-3}\cdot(-x^2+4x-3)’\)

\(=\displaystyle\frac{-2x+4}{\log10(-x^2+4x-3)}\)

(3)
\(y=\displaystyle\frac{\log x}{x^2}\)

\(y’=\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{1}{x}\cdot x^2-(\log x)\cdot2x}{(x^2)^2}\)

\(=\displaystyle\frac{1-2\log x}{x^3}\)

(4)
(外側の関数は\(\log\cdots\)なので、中身の\(\log x\)が分母にくる)
\(y=\log(\log x)\)

\(y’=\displaystyle\frac{1}{\log x}\cdot(\log x)’\)

\(=\displaystyle\frac{1}{x\log x}\)

(5)
(ルートを外すと楽です)
\(y=\log\sqrt{1+\sin^2x}=\displaystyle\frac{1}{2}\log(1+\sin^2x)\) より

\(y’=\displaystyle\frac{1}{2}\cdot\displaystyle\frac{(1+\sin^2x)’}{1+\sin^2x}\)

\(=\displaystyle\frac{1}{2}\cdot\displaystyle\frac{2\sin x\cdot\cos x}{1+\sin^2x}\)

\(=\displaystyle\frac{\sin2x}{2(1+\sin^2x)}\)

以上になります。お疲れさまでした。
ここまで見て頂きありがとうございました。
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