指数関数の微分

指数関数の導関数について見ていきます。
導関数を求めるには、対数微分法というものを使います。

 

・指数関数の導関数
指数関数
\(y=a^x\)・・・①　(\(a\)は\(1\)ではない正の定数)
の導関数は①の両辺で自然対数をとることにより求めることができます。

①の両辺は正だから
\(\log y=\log a^x\) より
\(\log y=x\log a\)
両辺\(x\)で微分すると、左辺については合成関数の微分より

\(\displaystyle\frac{d}{dy}\log y\cdot\displaystyle\frac{dy}{dx}=\log a\)

よって
\(\displaystyle\frac{y’}{y}=\log a\)
となるので、①より
\(y’=\)\(y\log a=\)\(a^x\log a\)

特に底が \(a=e\) だと
\(y’=\)\(e^x\log e=\)\(e^x\)

となり、もとの関数と導関数が同じものになります。

また、このように対数をとって微分する方法を、対数微分法とよびます。ただし対数をとる際には正の値であることを確認してください。

もしくは、指数関数の逆関数が対数関数になることを利用して導くこともできます。つまり

\(y=a^x\)・・・① より
\(x=\log_{a}y\)
となるから\(y\)で微分して
\(\displaystyle\frac{dx}{dy}=\displaystyle\frac{1}{y\log a}\)

したがって逆関数の微分と①より
\(\displaystyle\frac{dy}{dx}=y\log a=a^x\log a\)
となります。

 

 

 

(例題)次の関数を微分せよ。
(1)\(y=(8x^2-7)e^{-x^2}\)

(2)\(y=e^{x}(\sin x+\cos x)\)

(3)\(y=e^{\cos x}\)

(4)\(y=\displaystyle\frac{\log_{3}x}{3^x}\)

 

 

(解答)
(1)
\(y=(8x^2-7)e^{-x^2}\)

積の微分と合成関数の微分より
\(y’=16xe^{-x^2}+(8x^2-7)e^{-x^2}\cdot(-2x)\)
\(=(-16x^3+30x)e^{-x^2}\)

(2)
\(y=e^{x}(\sin x+\cos x)\)

\(y’=e^{x}(\sin x+\cos x)+e^{x}(\cos x-\sin x)\)
\(=2e^x\cos x\)

(3)
\(y=e^{\cos x}\)

合成関数の微分より
\(y’=e^{\cos x}(\cos x)’\)
\(=-e^{\cos x}\sin x\)

(4)
\(y=\displaystyle\frac{\log_{3}x}{3^x}=\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{\log x}{\log 3}}{3^x}\)

商の微分より
\(y’=\displaystyle\frac{1}{\log 3}\cdot\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{1}{x}\cdot3^x-\log x\cdot(3^x\log 3)}{3^{2x}}\)

(分母分子 \(3^x\)で割って、\(x\)倍して)

\(=\displaystyle\frac{1}{\log 3}\cdot\displaystyle\frac{1-x\log x\cdot(\log 3)}{x\cdot3^{x}}\)

 

 

 

以上になります。お疲れ様でした。
ここまで見て頂きありがとうございました。
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