引き続き極値をもつ(もたない)条件に関する例題です。
(例題1)
\(a\)を実数とする。関数
\(f(x)=ax+\cos x+\displaystyle\frac{1}{2}\sin2x\)
が極値をもたないように、\(a\)の値の範囲を定めよ。
(解答)
\(f'(x)=a-\sin x+\cos 2x\)
\(=a-(\sin x-\cos2x)\)
そこで、\(y=\sin x-(1-2\sin^2x)\) と\(\sin\)に統一して、2次関数とみて最大・最小値を考えます。
ここで
\(g(x)=\sin x-\cos2x\)
\(=\sin x-(1-2\sin^2x)\)
\(=2\sin^2x+\sin x-1\)
\(=2(\sin x+\displaystyle\frac{1}{4})^2-\displaystyle\frac{9}{8}\)
となるから
\(f'(x)=a-\left\{2(\sin x+\displaystyle\frac{1}{4})^2-\displaystyle\frac{9}{8}\right\}\)
\(f'(x)\)が常に
\(f'(x)≧0\) または \(f'(x)≦0\)
であれば極値をもたない。
\(g(x)\)の
最大値は \(2\) (\(\sin x=1\) のとき)
最小値は \(-\displaystyle\frac{9}{8}\)
だから、求める\(a\)の値の範囲は
\(a≧2\) または \(a≦-\displaystyle\frac{9}{8}\)
(例題2)
\(a,b,c\)は定数で、\(b>0\)、\(c>1\) とする。\(x>0\)で定義された関数
\(f(x)=ax^2-bx+2\log x\)
が、\(x=\displaystyle\frac{1}{c}\) と \(x=c\) で極値をとり、これらの極値の和が\(-\displaystyle\frac{33}{4}\) である。このとき、\(a,b,c\)の値を求めよ。
(解答)
\(f'(x)=2ax-b+\displaystyle\frac{2}{x}\)
\(=\displaystyle\frac{2ax^2-bx+2}{x}\)
\(x=\displaystyle\frac{1}{c},c\) で極値をとるので
方程式
\(2ax^2-bx+2=0\)・・・①
の解が \(x=\displaystyle\frac{1}{c},c\) である。
\(c>1\) より \(\displaystyle\frac{1}{c}≠c\) だから、①を2次方程式としてよく
\(a≠0\)
よって解と係数の関係から
\(\displaystyle\frac{1}{c}+c=\displaystyle\frac{b}{2a}\)・・・②
\(\displaystyle\frac{1}{c}\cdot c=\displaystyle\frac{2}{2a}\)・・・③
③より \(a=1\)
また極値の和が\(-\displaystyle\frac{33}{4}\)だから
\(f(\displaystyle\frac{1}{c})+f(c)=-\displaystyle\frac{33}{4}\)
(左辺)
\(=(\displaystyle\frac{1}{c^2}-\displaystyle\frac{b}{c}+2\log\displaystyle\frac{1}{c})+(c^2-bc+2\log c)\)
\(=c^2+\displaystyle\frac{1}{c^2}-b(c+\displaystyle\frac{1}{c})\)
(②が使えるように変形する)
\(=(c+\displaystyle\frac{1}{c})^2-2-b(c+\displaystyle\frac{1}{c})\)
よって
\((c+\displaystyle\frac{1}{c})^2-2-b(c+\displaystyle\frac{1}{c})=-\displaystyle\frac{33}{4}\)・・・④
②を④に代入して
\((\displaystyle\frac{b}{2})^2-2-b\cdot\displaystyle\frac{b}{2}=-\displaystyle\frac{33}{4}\)
整理すると
\(b^2=25\)
\(b>0\) より
\(b=5\)
また②より
\(c+\displaystyle\frac{1}{c}=\displaystyle\frac{5}{2}\)
\(2c^2-5c+2=0\)
\((2c-1)(c-2)=0\)
\(c>1\) より
\(c=2\)
逆に \(a=1\)、\(b=5\)、\(c=2\) のとき
\(f'(x)=\displaystyle\frac{2x^2-5x+2}{x}\)
\(=\displaystyle\frac{(2x-1)(x-2)}{x}\)
より、\(x=\displaystyle\frac{1}{2},2\) で極値をとるので条件を満たす。
答 \(a=1\)、\(b=5\)、\(c=2\)
以上になります。お疲れさまでした。
ここまで見て頂きありがとうございました。
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