ガウス記号を含む極限の例題です。
(例題1)
\([x]\)は\(x\)を超えない最大の整数とする。
\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}\displaystyle\frac{[10^nπ]}{10^n}\) を求めよ。
\(x-1<[x]≦x\)
(\([x]≦x<[x]+1\) から変形できます。\(4≦4.3<5\) をイメージ)
(解答)
\(10^{n}π-1<[10^nπ]≦10^{n}π\) より
\(π-\displaystyle\frac{1}{10^{n}}<\displaystyle\frac{[10^nπ]}{10^n}≦π\)
\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}(π-\displaystyle\frac{1}{10^{n}})=π\) だから、はさみうちの原理より
\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}\displaystyle\frac{[10^nπ]}{10^n}=π\)
(例題2)
次の極限をそれぞれ求めよ。ただし、\([x]\)は\(x\)を超えない最大の整数とする。
(1)\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}\displaystyle\frac{1}{n}\left[\displaystyle\frac{n}{3}\right]\)
(2)\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}\left(\sqrt{n^2+\left[\displaystyle\frac{n}{3}\right]}-n\right)\)
(3)\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}\sin\left(2π\sqrt{n^2+\left[\displaystyle\frac{n}{3}\right]}\right)\)
(解答)
(1)
\(\displaystyle\frac{n}{3}-1<\left[\displaystyle\frac{n}{3}\right]≦\displaystyle\frac{n}{3}\) より
\(\displaystyle\frac{1}{3}-\displaystyle\frac{1}{n}<\displaystyle\frac{1}{n}\left[\displaystyle\frac{n}{3}\right]≦\displaystyle\frac{1}{3}\)
よって \(\displaystyle\lim_{n \to \infty}(\displaystyle\frac{1}{3}-\displaystyle\frac{1}{n})=\displaystyle\frac{1}{3}\) と、はさみうちの原理から
\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}\displaystyle\frac{1}{n}\left[\displaystyle\frac{n}{3}\right]=\displaystyle\frac{1}{3}\)
(2)
\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}\left(\sqrt{n^2+\left[\displaystyle\frac{n}{3}\right]}-n\right)\)
\(=\displaystyle\lim_{n \to \infty}\displaystyle\frac{(n^2+\left[\displaystyle\frac{n}{3}\right])-n^2}{\sqrt{n^2+\left[\displaystyle\frac{n}{3}\right]}+n}\)
\(=\displaystyle\lim_{n \to \infty}\displaystyle\frac{\left[\displaystyle\frac{n}{3}\right]}{\sqrt{n^2+\left[\displaystyle\frac{n}{3}\right]}+n}\)
(\(n\)で割って(1)を利用します)
\(=\displaystyle\lim_{n \to \infty}\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{1}{n}\left[\displaystyle\frac{n}{3}\right]}{\sqrt{1+\displaystyle\frac{1}{n\cdot n}\left[\displaystyle\frac{n}{3}\right]}+1}\)
\(=\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{1}{3}}{\sqrt{1+0\cdot\displaystyle\frac{1}{3}}+1}\)
\(=\displaystyle\frac{1}{6}\)
(3)
\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}\sin\left(2π\sqrt{n^2+\left[\displaystyle\frac{n}{3}\right]}\right)\)
\(=\displaystyle\lim_{n \to \infty}\sin\left(2π\sqrt{n^2+\left[\displaystyle\frac{n}{3}\right]}-2πn\right)\)
\(=\displaystyle\lim_{n \to \infty}\sin\left\{2π\left(\sqrt{n^2+\left[\displaystyle\frac{n}{3}\right]}-n\right)\right\}\)
\(=\sin(2π\cdot\displaystyle\frac{1}{6})\) ((2)より)
\(=\sin\displaystyle\frac{π}{3}\)
\(=\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}\)
以上になります。お疲れ様でした。
ここまで見て頂きありがとうございました。
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