三角関数・対数関数の極限について見ていきます。
(例題)次の極限を調べよ。
(1)\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}\sin\displaystyle\frac{nπ}{2}\)
(2)\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}\cos(\sqrt{n+2}-\sqrt{n})\)
(3)\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}\{\log_3(1^2+2^2+\cdots+n^2)-\log_3n^3\}\)
(解答)
(1)
\(1,0,-1,0,1,0,-1,0,1\cdots\) と 最初以外は\(1,0,-1,0\) の繰り返しです。
\(\sin\displaystyle\frac{nπ}{2}\) を並べると
\(1,0,-1,0,1,0,-1,0,1\cdots\) より、\(1,0,-1,0\)の繰り返しになる。
よって、この数列は振動する。(極限はない)
(2)
なお、\(n \to \infty\) のときは \(n+2\) の \(2\)はほとんど無視できて
\(\sqrt{n+2}-\sqrt{n}≒\sqrt{n}-\sqrt{n}=0\)
とある程度は極限の検討はつきます。
\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}\cos(\sqrt{n+2}-\sqrt{n})\)
\(=\displaystyle\lim_{n \to \infty}\cos\left\{\displaystyle\frac{(n+2)-n}{\sqrt{n+2}+\sqrt{n}}\right\}\)
\(=\displaystyle\lim_{n \to \infty}\cos\left\{\displaystyle\frac{2}{\sqrt{n+2}+\sqrt{n}}\right\}\)
\(=\cos0\)
\(=1\)
(3)
\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}\{\log_3(1^2+2^2+\cdots+n^2)-\log_3n^3\}\)
\(=\displaystyle\lim_{n \to \infty}[\log_3\left\{\displaystyle\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)\right\}-\log_3n^3]\)
\(=\displaystyle\lim_{n \to \infty}\log_3\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)}{n^3}\)
(分子を展開するよりも、1個ずつ\(n\)で割ると楽)
\(=\displaystyle\lim_{n \to \infty}\log_3\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{1}{6}(1+\displaystyle\frac{1}{n})(2+\displaystyle\frac{1}{n})}{1}\)
\(=\log_3\displaystyle\frac{1}{3}\)
\(=-1\)
以上になります。お疲れさまでした。
ここまで見て頂きありがとうございました。
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