無限等比数列②

等比数列の極限の例題です。

(例題1)
\(-\displaystyle\frac{π}{2}<θ<\displaystyle\frac{π}{2}\) とする。

(1)\(|\tanθ|<1\) となる\(θ\)の範囲を求めよ。
(2)\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}\tan^nθ\) を求めよ。
(3)\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}\displaystyle\frac{\sin^nθ-\cos^nθ}{\sin^nθ+\cos^nθ}\) を求めよ。ただし、\(θ≠-\displaystyle\frac{π}{4}\) とする。

(解答)
(1)
\(-1<\tanθ<1\) より
\(-\displaystyle\frac{π}{4}<θ<\displaystyle\frac{π}{4}\)

(2)

①\(\tanθ>1\) (\(\displaystyle\frac{π}{4}<θ<\displaystyle\frac{π}{2}\)) のとき
\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}\tan^nθ=\infty\)

②\(\tanθ=1\) (\(θ=\displaystyle\frac{π}{4}\)) のとき
\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}\tan^nθ=1\)

③\(|\tanθ|<1\) (\(-\displaystyle\frac{π}{4}<θ<\displaystyle\frac{π}{4}\)) のとき
\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}\tan^nθ=0\)

④\(\tanθ≦-1\) (\(-\displaystyle\frac{π}{2}<θ≦-\displaystyle\frac{π}{4}\)) のとき
\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}\tan^nθ\) はない。(振動する)

(3)

(i)\(|\tanθ|>1\) (\(\displaystyle\frac{π}{4}<θ<\displaystyle\frac{π}{2}\),  \(-\displaystyle\frac{π}{2}<θ<-\displaystyle\frac{π}{4}\)) のとき
\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}\displaystyle\frac{\sin^nθ-\cos^nθ}{\sin^nθ+\cos^nθ}\)

(\(\sin^nθ\)で割って)

\(=\displaystyle\lim_{n \to \infty}\displaystyle\frac{1-(\displaystyle\frac{1}{\tanθ})^n}{1+(\displaystyle\frac{1}{\tanθ})^n}\)

\(=\displaystyle\frac{1-0}{1+0}\)

\(=1\)

(ii)\(\tanθ=1\) (\(θ=\displaystyle\frac{π}{4}\)) のとき
\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}\displaystyle\frac{\sin^nθ-\cos^nθ}{\sin^nθ+\cos^nθ}\)

((i)の途中式より)

\(=\displaystyle\lim_{n \to \infty}\displaystyle\frac{1-1}{1+1}\)

\(=0\)

(iii)\(|\tanθ|<1\) (\(-\displaystyle\frac{π}{4}<θ<\displaystyle\frac{π}{4}\)) のとき
\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}\displaystyle\frac{\sin^nθ-\cos^nθ}{\sin^nθ+\cos^nθ}\)

(\(\cos^nθ\)で割って)

\(=\displaystyle\lim_{n \to \infty}\displaystyle\frac{\tan^nθ-1}{\tan^nθ+1}\)

\(=\displaystyle\frac{0-1}{0+1}\)

\(=-1\)

(例題2)
\(0\)でない実数\(x\)について、次の極限値を求めよ。
\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}\displaystyle\frac{x^{n+1}-x^{-n-1}}{x^{n}+x^{-n}}\)

(解答)
(i)\(x<-1\), \(x>1\) のとき
\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}\displaystyle\frac{x^{n+1}-x^{-n-1}}{x^{n}+x^{-n}}\)

(\(x^n\)で割って)

\(=\displaystyle\lim_{n \to \infty}\displaystyle\frac{x-x^{-2n-1}}{1+x^{-2n}}\)

\(=\displaystyle\lim_{n \to \infty}\displaystyle\frac{x-\displaystyle\frac{1}{x^{2n+1}}}{1+\displaystyle\frac{1}{x^{2n}}}\)

\(=x\)

(ii)\(x=1\) のとき
\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}\displaystyle\frac{x^{n+1}-x^{-n-1}}{x^{n}+x^{-n}}\)

\(=\displaystyle\lim_{n \to \infty}\displaystyle\frac{1-1}{1+1}\)

\(=0\)

(iii)\(x=-1\) のとき
\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}\displaystyle\frac{x^{n+1}-x^{-n-1}}{x^{n}+x^{-n}}\)

\(=\displaystyle\lim_{n \to \infty}\displaystyle\frac{(-1)^{n+1}-(-1)^{-n-1}}{(-1)^n+(-1)^{-n}}\)

(\((-1)^{n}\)倍して)

\(=\displaystyle\lim_{n \to \infty}\displaystyle\frac{(-1)^{2n+1}-(-1)^{-1}}{(-1)^{2n}+1}\)

\(=\displaystyle\lim_{n \to \infty}\displaystyle\frac{-1+1}{1+1}\)

\(=0\)

(iv)\(-1<x<1\) のとき (ただし\(x≠0\))
\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}\displaystyle\frac{x^{n+1}-x^{-n-1}}{x^{n}+x^{-n}}\)

(\(x^n\)倍して)

\(=\displaystyle\lim_{n \to \infty}\displaystyle\frac{x^{2n+1}-x^{-1}}{x^{2n}+1}\)

\(=\displaystyle\frac{0-\displaystyle\frac{1}{x}}{0+1}\)

\(=-\displaystyle\frac{1}{x}\)

以上になります。お疲れさまでした。
ここまで見て頂きありがとうございました。
next→はさみうちの原理①　back→無限等比数列①