無限級数と順序交換

有限な範囲だと和の順序を変えることができますが、無限級数の場合には一般的には変えることができません、

 

・無限級数と順序交換
無限級数

\(1-1+1-1+1-1+1-1+\cdots\)

は、初項\(1\)、公比\(-1\)の無限等比級数なので発散します。ここでこの級数を

\((1-1)+(1-1)+(1-1)+(1-1)+\cdots\)

という組み合わせに変えると、\(0+0+0+0+\cdots\) という無限級数になるので\(0\)に収束してしまいます。

今度は
\(1+(-1+1)+(-1+1)+(-1+1)+(-1+1)+\cdots\)

という組み合わせに変えると、\(1+0+0+0+0+\cdots\) という無限級数になり\(1\)に収束します。

このように、無限級数は和の計算の順序を変えると値が変わってしまうことがあるので、勝手に項の足し方(順序交換や括弧をつけるなど)を変えることができません。ただし、有限の範囲では交換法則や結合法則が成り立つので、部分和については項の足し方は自由に変えることができます

また、逆に
\((1-1)+(1-1)+(1-1)+(1-1)+\cdots\)
という無限級数が与えられた場合には、このままの形で扱ってください。
先ほど説明した通り
\(1-1+1-1+1-1+1-1+\cdots\)
という無限級数とは別物になります。

なお、無限級数\(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_n,\ \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}b_n\) が収束して、\(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_n=S,\ \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}b_n=T\) となるとき、\(p,q\)を定数として

\(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}(pa_n+qb_n)=pS+qT\)
(つまり \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}(pa_n+qb_n)=p\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_n+q\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}b_n\))

が成り立ちますが、これは項の順序交換が可能な特殊例です。
成り立つ理由は、部分和\(S_n,T_n\)を考えて、収束する数列の性質 \(\displaystyle\lim_{n \to \infty}(pS_n+qT_n)=p\displaystyle\lim_{n \to \infty}S_n+q\displaystyle\lim_{n \to \infty}T_n\) から分かります。

 

 

 

(例題)
次の無限級数の収束・発散を調べて、収束するならばその和を求めよ。
\(\displaystyle\frac{1}{3}+\displaystyle\frac{3}{3^2}+\displaystyle\frac{7}{3^3}+\cdots+\displaystyle\frac{2^n-1}{3^n}+\cdots\)

 

部分和を考えるか、収束する無限級数について成り立つ \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}(pa_n+qb_n)=pS+qT\) を利用します。

(解答1)部分和から求める
部分和
\(S_n=\displaystyle\frac{1}{3}+\displaystyle\frac{3}{3^2}+\displaystyle\frac{7}{3^3}+\cdots+\displaystyle\frac{2^n-1}{3^n}\)

\(=\{(\displaystyle\frac{2}{3})-(\displaystyle\frac{1}{3})\}+\{(\displaystyle\frac{2}{3})^2-(\displaystyle\frac{1}{3})^2\}+\{(\displaystyle\frac{2}{3})^3-(\displaystyle\frac{1}{3})^3\}+\cdots+\{(\displaystyle\frac{2}{3})^n-(\displaystyle\frac{1}{3})^n\}\)

(有限の範囲なので順序を入れかえて)

\(=\{\displaystyle\frac{2}{3}+(\displaystyle\frac{2}{3})^2+\cdots+(\displaystyle\frac{2}{3})^n\}-\{\displaystyle\frac{1}{3}+(\displaystyle\frac{1}{3})^2+\cdots+(\displaystyle\frac{1}{3})^n\}\)

\(=\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{2}{3}\cdot\{1-(\displaystyle\frac{2}{3})^n\}}{1-\displaystyle\frac{2}{3}}-\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{1}{3}\cdot\{1-(\displaystyle\frac{1}{3})^n\}}{1-\displaystyle\frac{1}{3}}\)

\(=2\cdot\{1-(\displaystyle\frac{2}{3})^n\}-\displaystyle\frac{1}{2}\cdot\{1-(\displaystyle\frac{1}{3})^n\}\)

よって無限級数は収束してその和は
\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}S_n=2-\displaystyle\frac{1}{2}\)

\(=\displaystyle\frac{3}{2}\)

 

(解答2)収束する無限級数の性質を利用
\(\displaystyle\frac{1}{3}+\displaystyle\frac{3}{3^2}+\displaystyle\frac{7}{3^3}+\cdots+\displaystyle\frac{2^n-1}{3^n}+\cdots\)

\(=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\displaystyle\frac{2^n-1}{3^n}\)

(\(\displaystyle\frac{2^n-1}{3^n}\) で1項です)

\(=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\left\{(\displaystyle\frac{2}{3})^n-(\displaystyle\frac{1}{3})^n\right\}\)・・・①

ここで、無限級数 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}(\displaystyle\frac{2}{3})^n, \ \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}(\displaystyle\frac{1}{3})^n\) は収束するので

①\(=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}(\displaystyle\frac{2}{3})^n-\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}(\displaystyle\frac{1}{3})^n\)

\(=\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{2}{3}}{1-\displaystyle\frac{2}{3}}-\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{1}{3}}{1-\displaystyle\frac{1}{3}}\)

\(=2-\displaystyle\frac{1}{2}\)

\(=\displaystyle\frac{3}{2}\)

 

 

 

以上になります。お疲れさまでした。
ここまで見て頂きありがとうございました。
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