周期性に着目した無限級数の例題です。
(例題)
数列\(\{a_n\}\)の第\(n\)項を \(a_n=\left(\displaystyle\frac{1}{3}\right)^n\sin\displaystyle\frac{n}{2}π\)、和を \(S_n=a_1+a_2+a_3+\cdots+a_n\) としたとき、\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}S_n\) を求めよ。
(解答)
\(\sin\displaystyle\frac{n}{2}π\) は \(1,0,-1,0\) の繰り返しになるので、\(S_{4m},S_{4m+1},S_{4m+2},S_{4m+3}\) (\(m\)は十分大きい自然数) を考える。
\(S_{4m}=\{(\displaystyle\frac{1}{3})+0-(\displaystyle\frac{1}{3})^3+0\}+\{(\displaystyle\frac{1}{3})^5+0-(\displaystyle\frac{1}{3})^7+0\}+\cdots\)
\(\cdots+\{(\displaystyle\frac{1}{3})^{4m-3}+0-(\displaystyle\frac{1}{3})^{4m-1}+0\}\)
(公比\(-\displaystyle\frac{1}{9}\)、項数\(4m÷2=2m\) の等比数列)
\(=\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{1}{3}\{1-(-\displaystyle\frac{1}{9})^{2m}\}}{1+\displaystyle\frac{1}{9}}\)
\(=\displaystyle\frac{3}{10}\{1-(-\displaystyle\frac{1}{9})^{2m}\}\)
よって
\(\displaystyle\lim_{m \to \infty}S_{4m}=\displaystyle\frac{3}{10}\)
また、
\(S_{4m+1}=S_{4m}+a_{4m+1}\)
\(=S_{4m}+(\displaystyle\frac{1}{3})^{4m+1}\)
だから
\(\displaystyle\lim_{m \to \infty}S_{4m+1}=\displaystyle\lim_{m \to \infty}\{S_{4m}+(\displaystyle\frac{1}{3})^{4m+1}\}=\displaystyle\frac{3}{10}\)
同様に
\(\displaystyle\lim_{m \to \infty}S_{4m+2}=\displaystyle\lim_{m \to \infty}\{S_{4m}+(\displaystyle\frac{1}{3})^{4m+1}+0\}=\displaystyle\frac{3}{10}\)
\(\displaystyle\lim_{m \to \infty}S_{4m+3}=\displaystyle\lim_{m \to \infty}\{S_{4m}+(\displaystyle\frac{1}{3})^{4m+1}+0-(\displaystyle\frac{1}{3})^{4m+3}\}=\displaystyle\frac{3}{10}\)
したがって
\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}S_n=\displaystyle\frac{3}{10}\)
以上になります。お疲れさまでした。
ここまで見て頂きありがとうございました。
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