2倍角・半角の公式

2倍角・半角の公式について見ていきます。
2倍角の公式は加法定理により簡単に導くことができます。

 

・2倍角の公式
2倍角の三角関数について、次の等式が成り立ちます。

・2倍角の公式
① \(\sin2α\)\(=2\sinα\cosα\)

② \(\cos2α\)\(=\cos^2α-\sin^2α\)\(=1-2\sin^2α\)\(=2\cos^2α-1\)
③ \(\tan2α\)\(=\displaystyle\frac{2\tanα}{1-\tan^2α}\)

 

\(2α\)の三角関数を\(α\)で表した形になっています。
これらの公式の導き方は簡単なので、覚えるだけでなく導けるようにしましょう。

(証明)
\(\sin2α\)\(=\sin(α+α)\)\(=\sinα\cosα\)\(+\cosα\sinα\)
\(=2\sinα\cosα\)

\(\cos2α\)\(=\cos(α+α)\)\(=\cosα\cosα\)\(-\sinα\sinα\)
\(=\cos^2α-\sin^2α\)・・・(1)

(1)で \(\cos^2α=1-\sin^2α\) より \(\cosα\) を消去すると
\(\cos^2α-\sin^2α\)\(=(1-\sin^2α)-\sin^2α\)\(=1-2\sin^2α\)

同様に \(\sin^2α=1-\cos^2α\) より
\(\cos^2α-\sin^2α\)\(=\cos^2α-(1-\cos^2α)\)\(=2\cos^2α-1\)

また
\(\tan2α\)\(=\tan(α+α)\)\(=\displaystyle\frac{\tanα+\tanα}{1-\tanα\tanα}\)\(=\displaystyle\frac{2\tanα}{1-\tan^2α}\)

 

 

・半角の公式
\(\cos\)の2倍角の公式より
\(\cos2α\)\(=1-2\sin^2α\)・・・(2)
\(\cos2α\)\(=2\cos^2α-1\)・・・(3)

(2)より \(\sin^2\)\(\color{blue}{α}\)\(=\displaystyle\frac{1-\cos2\color{blue}{α}}{2}\)
(3)より \(\cos^2\)\(\color{blue}{α}\)\(=\displaystyle\frac{1+\cos2\color{blue}{α}}{2}\)

\(α→\displaystyle\frac{α}{2}\) と置き換えると
\(\sin^2\)\(\displaystyle\frac{α}{2}\)\(=\displaystyle\frac{1-\cosα}{2}\)
\(\cos^2\)\(\displaystyle\frac{α}{2}\)\(=\displaystyle\frac{1+\cosα}{2}\)

また、この2式より
\(\tan^2\displaystyle\frac{α}{2}\)\(=\displaystyle\frac{\sin^2\displaystyle\frac{α}{2}}{\cos^2\displaystyle\frac{α}{2}}\)\(=\displaystyle\frac{1-\cosα}{2}\)\(\cdot\displaystyle\frac{2}{1+\cosα}\)\(=\displaystyle\frac{1-\cosα}{1+\cosα}\)

 

・半角の公式
\(\sin^2\)\(\displaystyle\frac{α}{2}\)\(=\displaystyle\frac{1-\cosα}{2}\)
\(\cos^2\)\(\displaystyle\frac{α}{2}\)\(=\displaystyle\frac{1+\cosα}{2}\)
\(\tan^2\displaystyle\frac{α}{2}\)\(=\displaystyle\frac{1-\cosα}{1+\cosα}\)

 

半角の公式は2倍角の公式を変形して、角を半分にしただけなので、実質的には2倍角の公式です。

 

 

(例題1)
(1) \(\tan202.5°\) の値を求めよ。
(2) \(\sin2α=\displaystyle\frac{1}{3}\sinα\), \(\cos2β=\displaystyle\frac{1}{6}\cosβ\) (\(0<α<\displaystyle\frac{π}{2}\), \(0<β<\displaystyle\frac{π}{2}\)) のとき、\(\cosα\),\(\cosβ\) の値を求めよ。

 

 

(解答)
(1)

まずは簡単のため、角を第1象限にもってきます。
そして\(22.5°\) (2倍すると\(45°\)で有名角) の三角関数の値を求めるために、半角の公式を利用します。
また、別解では\(\tan\)の2倍角の公式を利用して解いてみます。

\(\tan202.5°\)\(=\tan(22.5°+180°)\)\(=\tan22.5°\)

半角の公式で \(α=45°\) として
\(\tan^2\displaystyle\frac{45°}{2}\)\(=\displaystyle\frac{1-\cos45°}{1+\cos45°}\)\(=\displaystyle\frac{1-\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}}{1+\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}}\)\(=\displaystyle\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}+1}\)\(=(\sqrt{2}-1)^2\)

\(\tan\displaystyle\frac{45°}{2}\)\(=\tan22.5°\)\(>0\) だから
\(\tan22.5°=\sqrt{2}-1\)

よって \(\tan202.5°\)\(=\sqrt{2}-1\)

 

(別解)
\(\tan202.5°\)\(=\tan(22.5°+180°)\)\(=\tan22.5°\)

\(\tan2α\)\(=\displaystyle\frac{2\tanα}{1-\tan^2α}\) で \(α=22.5°\) とすると

\(\tan45°\)\(=\displaystyle\frac{2\tanα}{1-\tan^2α}\)
\(1=\displaystyle\frac{2\tanα}{1-\tan^2α}\)

\(1-\tan^2α=2\tanα\)
\(\tan^2α+2\tanα-1=0\)

この2次方程式を解くと
\(\tanα=-1±\sqrt{2}\)

\(\tanα=\tan22.5°\)\(>0\) だから
\(\tanα=-1+\sqrt{2}\)

したがって
\(\tan202.5°=-1+\sqrt{2}\)

 

(2)

2倍角の公式を利用します。
\(\cos2β\) については、1種類の三角関数に統一するために
\(\cos2β=2\cos^2β-1\) を使います。
あとは\(α,β\)の範囲に注意です。

\(\sin2α=\displaystyle\frac{1}{3}\sinα\) より
\(2\sinα\cosα\)\(=\displaystyle\frac{1}{3}\sinα\)
左辺に寄せて因数分解すると
\(\sinα(2\cosα-\displaystyle\frac{1}{3})\)\(=0\)

\(0<α<\displaystyle\frac{π}{2}\) より \(\sinα≠0\) だから
\(\cosα=\displaystyle\frac{1}{6}\)

また
\(\cos2β=\displaystyle\frac{1}{6}\cosβ\) より
\(2\cos^2β-1\)\(=\displaystyle\frac{1}{6}\cosβ\)
6倍して整理すると
\(12\cos^2β-\cosβ-6=0\)
\((4\cosβ-3)(3\cosβ+2)=0\)
\(\cosβ=\displaystyle\frac{3}{4},-\displaystyle\frac{2}{3}\)

\(0<β<\displaystyle\frac{π}{2}\) より \(\cosβ>0\) だから
\(\cosβ=\displaystyle\frac{3}{4}\)

 

 

(例題2)
\(\tan\displaystyle\frac{θ}{2}=t\) (\(t≠±1\)) のとき、\(\sinθ\), \(\cosθ\), \(\tanθ\) を \(t\)を用いて表せ。

 

 

2倍角の公式や、三角関数の公式を利用していきます。
コツは平方根をとらないようにすることです。例えば \(\sinθ\) が分かったときに、\(\cosθ=±\sqrt{1-\sin^2θ}\) などとしないようにすることです。
\(\sinθ\), \(\cosθ\), \(\tanθ\) のどれからスタートしてもよいですが、分かりやすいのは \(\cosθ\), \(\tanθ\) なのでこの2つからスタートしてみます。

 

(解答)
\(\cosθ\)\(=\cos(2・\displaystyle\frac{θ}{2})\)\(=2\cos^2\displaystyle\frac{θ}{2}-1\)

\(=2・\displaystyle\frac{1}{1+\tan^2\displaystyle\frac{θ}{2}}-1\)   (\(1+\tan^2x\)\(=\displaystyle\frac{1}{\cos^2x}\) より)

\(=\displaystyle\frac{2}{1+t^2}-1\)

\(=\displaystyle\frac{1-t^2}{1+t^2}\)

 

\(\tanθ\)\(=\tan(2・\displaystyle\frac{θ}{2})\)\(=\displaystyle\frac{2\tan\displaystyle\frac{θ}{2}}{1-\tan^2\displaystyle\frac{θ}{2}}\)

\(=\displaystyle\frac{2t}{1-t^2}\)

 

\(\displaystyle\frac{\sinθ}{\cosθ}=\tanθ\) より

\(\sinθ\)\(=\tanθ\cosθ\)\(=\displaystyle\frac{2t}{1-t^2}・\displaystyle\frac{1-t^2}{1+t^2}\)

\(=\displaystyle\frac{2t}{1+t^2}\)

 

※\(\sinθ\) の別の求め方
\(\sinθ\)\(=\sin(2・\displaystyle\frac{θ}{2})\)\(=2\sin\displaystyle\frac{θ}{2}\cos\displaystyle\frac{θ}{2}\)

\(=2・\displaystyle\frac{\sin\displaystyle\frac{θ}{2}}{\cos\displaystyle\frac{θ}{2}}・\cos^2\displaystyle\frac{θ}{2}\) (分母に\(\cos\)をもってきて無理やりこの形にする)

\(=2・\tan\displaystyle\frac{θ}{2}\)\(・\displaystyle\frac{1}{1+\tan^2\displaystyle\frac{θ}{2}}\)

\(=\displaystyle\frac{2t}{1+t^2}\)

 

 

 

 

以上になります。お疲れさまでした。
ここまで見て頂きありがとうございました。
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