特殊な分割による、体積を求める方法について見ていきます。
・バウムクーヘン分割
立体の体積は断面積を積分すると求まります。
\(V=\displaystyle\int_{a}^{b}S(x)dx\)・・・①
①式の右辺の数式が表す意味は、微小な\(dx\)と\(S(x)\)の積\(S(x)dx\)を積分(積み上げる)ということであり、\(S(x)dx\) は非常に細かく分けられた立体の体積を表しています。実際、区分求積法の考え方より
\(V=\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}S(x_k)Δx\)
であり、この無限級数を計算するのが積分をするということです。
さて①では\(x\)軸に垂直な平面による断面を積分、つまり\(x\)軸に垂直な断面で立体を細かく分割して体積を計算するということを行っていますが、立体の分割の方法はこれだけではありません。その1つにバウムクーヘン分割という方法があります。
バウムクーヘンというお菓子は生地が層状になっていますが、この層のように立体を分割して体積を求めるのがバウムクーヘン分割による積分です。つまり、同じ中心軸をもつ円柱の側面により立体を分割します。
この分割方法の仕組みにより、\(y=f(x)\) と\(x\)軸で囲まれた図形を\(y\)軸回転してできる立体の体積 (\(x=g(y)\) と \(y\)軸で囲まれ図形を\(x\)軸回転してできる立体の体積) を求めるときに威力を発揮します。
\(0≦a<b\) のとき、\(a≦x≦b\) で \(f(x)≧0\) とする。\(y=f(x)\) のグラフと \(x=a\), \(x=b\), \(x\)軸で囲まれた図形を\(y\)軸のまわりに回転させてできる立体の体積\(V\)は
\(V=\displaystyle\int_{a}^{b}2πxf(x)dx\)
(簡易的な証明)
\(V(x)\) を、区間\([a,x]\) において \(y=f(x)\) と\(x\)軸の間にある図形を\(y\)軸まわりに回転してできる立体の体積とする。微小体積 \(ΔV=V(x+Δx)-V(x)\) は、上図より内部がくり抜かれた円柱の体積に近似でき、これを切り開くと縦横高さが、\(Δx,\ 2πx,\ f(x)\) の直方体にほとんどなるので
\(ΔV≒2πxf(x)Δx\)
両辺\(Δx\) で割って、\(Δx \to 0\) の極限を考えると
\(V'(x)=2πxf(x)\)
\(V(x)\)の定義から、\(V(a)=0\)、\(V=V(b)\) だから
\(V=V(b)-V(a)\)
\(=\displaystyle\int_{a}^{b}2πxf(x)dx\)
(丁寧な証明)
\(V(x)\)を同様に定義する。
区間 \([x,x+Δx]\) における\(f(x)\)の最小値,最大値を\(m,M\)とすると
\(π\{(x+Δx)^2-x^2\}m≦ΔV≦π\{(x+Δx)^2-x^2\}M\)
(高さ\(m,M\)のくり抜き円柱の体積の間にある)
整理して辺々 \(Δx (>0)\) で割ると
\(π(2x+Δx)m≦\displaystyle\frac{ΔV}{Δx}≦π(2x+Δx)M\)
\(Δx \to +0\) のとき、\(m \to f(x)\)、\(M \to f(x)\) だから、はさみうちの原理より
\(\displaystyle\lim_{Δx \to +0}\displaystyle\frac{ΔV}{Δx}=2πxf(x)\)
\(Δx<0\) のときも不等号が入れかわるだけで同様の式が成り立つことから
\(\displaystyle\frac{dV}{dx}=2πxf(x)\)
したがって
\(V=V(b)-V(a)\)
\(=\displaystyle\int_{a}^{b}2πxf(x)dx\)
※\(2πxf(x)\) は円柱の側面積を表していて、積分すると体積になるということです。これは\(x\)軸垂直の断面\(S(x)\)に対応しています。
なおバウムクーヘン分割は正式な用語ではありません。意味さえ分かっていればよいので、樹木の年輪分割でもトイレットペーパー分割でも、しっくりくるもので理解しておけばよいです。
(例題)
\(y=\sin x\) (\(0≦x≦π\)) と\(x\)軸とで囲まれた図形を\(y\)軸のまわりに1回転してできる立体の体積\(V\)を求めよ。
置換積分だと場合分けが必要です(別解)。
(解答)
\(V=\displaystyle\int_{0}^{π}2πx\sin xdx\)
\(=2π[x(-\cos x)]_{0}^{π}+2π\displaystyle\int_{0}^{π}\cos xdx\)
\(=2π^2+2π[\sin x]_{0}^{π}\)
\(=2π^2\)
(別解)
\(V=\displaystyle\int_{0}^{1}πx_2^2dy-\displaystyle\int_{0}^{1}πx_1^2dy\)
\(y=\sin x_1\) (\(y=\sin x_2\)) の置換をすると、\(dy=\cos x_1dx_1\) 。積分区間対応に注意して
\(V=\displaystyle\int_{π}^{\frac{π}{2}}πx_2^2\cos x_2dx_2-\displaystyle\int_{0}^{\frac{π}{2}}πx_1^2\cos x_1 dx_1\)
(積分変数を\(x\)にして、つなげると)
\(V=-\displaystyle\int_{0}^{π}πx^2\cos x dx\)
\(=-π[x^2\sin x]_{0}^{π}+\displaystyle\int_{0}^{π}2πx\sin xdx\)
\(=\displaystyle\int_{0}^{π}2πx\sin xdx\) (バウムクーヘン分割と同じ式)
\(=2π[-x\cos x+\sin x]_{0}^{π}\)
\(=2π^2\)
以上になります。お疲れさまでした。
ここまで見て頂きありがとうございました。
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