指数方程式の有理数解に関する問題について見ていきます。
(例題)
(1)\(2^r=3\) を満たす\(r\)は有理数でないことを示せ。
(2)\(2^x3^{-2y}=3^x2^{y-6}\) を満たす有理数\(x,y\)を求めよ。
(解答)
(1)
\(3>1\) より、\(r\)は正の数。
ここで与式を満たす\(r\)は有理数であると仮定すると、
\(r=\displaystyle\frac{n}{m}\) (\(m,n\)は互いに素な正の整数)
とおける。
与式より
\(2^{\frac{n}{m}}=3\)
両辺\(m\)乗して
\(2^{m}=3^{n}\)・・・①
\(m,n\)は正の整数より、①の左辺は2の倍数であるが、右辺は2の倍数でないため矛盾。
したがって、\(r\)は有理数ではない。
\(r=\log_{2}3\)
と表せます。もちろんこれは無理数ですが、その証明方法は解答と同じになります。
(2)
\(2^x3^{-2y}=3^x2^{y-6}\) より
\(2^x2^{-y+6}=3^x3^{2y}\)
\(2^{x-y+6}=3^{x+2y}\)・・・・②
ここで、\(x+2y≠0\) のとき②の両辺を\(\displaystyle\frac{1}{x+2y}\)乗して
\(2^{\frac{x-y+6}{x+2y}}=3\)
\(x,y\)は有理数なので、\(\displaystyle\frac{x-y+6}{x+2y}\) も有理数となるが、
(1)より \(2^{r}=3\) を満たす\(r\)は有理数でないので不適。
よって \(x+2y=0\)・・・③
②に代入して
\(2^{x-y+6}=1\) となるので
\(x-y+6=0\)・・・④
③④より \(x,y\) を求めると
\(x=-4\), \(y=2\)
以上になります。お疲れさまでした。
ここまで見て頂きありがとうございました。
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