対数関数を含む関数の最大最小問題についてみていきます。
(例題1)
関数
\(f(x)=(\log_{4}2x)^2+\displaystyle\frac{1}{2}\log_{2}\sqrt{2x}-\log_{4}x+1\)
の最小値とそのときの\(x\)の値を求めよ。
(解答)
4で統一するとして、\(\log_{4}x\) のみの式で表すように変形していきます。
真数条件より \(x>0\)
\(f(x)\)
\(=(\log_{4}2x)^2+\displaystyle\frac{1}{2}\log_{2}\sqrt{2x}-\log_{4}x+1\)
\(=(\log_{4}2+\log_{4}x)^2+\displaystyle\frac{1}{2}\cdot\displaystyle\frac{1}{2}(\log_{2}2+\log_{2}x)-\log_{4}x+1\)
\(=(\displaystyle\frac{1}{2}+\log_{4}x)^2+\displaystyle\frac{1}{4}+\displaystyle\frac{1}{4}\cdot\displaystyle\frac{\log_{4}x}{\log_{4}2}-\log_{4}x+1\)
\(=(\displaystyle\frac{1}{2}+\log_{4}x)^2-\displaystyle\frac{1}{2}\log_{4}x+\displaystyle\frac{5}{4}\)
\(=(\log_{4}x)^2+\displaystyle\frac{1}{2}\log_{4}x+\displaystyle\frac{3}{2}\)
なお、\(t=\log_{4}x\) は実数全体の値をとります。(範囲はあんまり気にしなくてよいということです)
\(=(\log_{4}x+\displaystyle\frac{1}{4})^2+\displaystyle\frac{23}{16}\)
よって最小値は \(\log_{4}x=-\displaystyle\frac{1}{4}\)・・・① のとき
\(\displaystyle\frac{23}{16}\)
①より \(x\)\(=4^{-\frac{1}{4}}=2^{-\frac{1}{2}}\)\(=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}\)
(例題2)
\(2≦x≦5\) において
\(f(x)=\log_{a}(x^2-6x+18)\)
の最小値を \(m(a)\) とするとき、次の問いに答えよ。ただし \(a>0\), \(a≠1\) とする。
(1)\(m(a)\) を求めよ。
(2)\(m(a)=2\), \(m(a)=-2\) である\(a\)の値をそれぞれ求めよ。
(解答)
(1)
\(f(x)\)
\(=\log_{a}(x^2-6x+18)\)
\(=\log_{a}\{(x-3)^2+9\}\)
ここで、\(2≦x≦5\) より 2次関数の最大最小値を考えて
\(9≦(x-3)^2+9≦13\)
(ア) \(0<a<1\) のとき
\(Y=\log_{a}X\) は単調減少だから
\(\log_{a}13≦f(x)≦\log_{a}9\)
したがって最小値は \(\log_{a}13\)
(イ) \(a>1\) のとき
\(Y=\log_{a}X\) は単調増加だから
\(\log_{a}9≦f(x)≦\log_{a}13\)
したがって最小値は \(\log_{a}9\)
答
\(0<a<1\) \(m(a)=\log_{a}13\)
\(a>1\) \(m(a)=\log_{a}9\)
(2)
①\(\log_{a}13\) (\(0<a<1\)) は負の値
②\(\log_{a}9\) (\(a>1)\) は正の値 です。
(正負に着目せず\(m(a)=2,-2\) のそれぞれ①②の両方の場合を考えてもよいです。一方が不適になるだけで結局解答と同じになります)
①\(m(a)=\log_{a}13<0\) (\(0<a<1\))
②\(m(a)=\log_{a}9>0\) (\(a>1)\)
だから
\(m(a)=2\) のときは②の場合で
\(\log_{a}9=2\)
\(a^2=9\)
\(a>1\) より
\(a=3\)
\(m(a)=-2\) のときは①の場合で
\(\log_{a}13=-2\)
\(\displaystyle\frac{1}{a^2}=13\)
\(0<a<1\) より
\(a=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{13}}\)
(例題3)
\(x>1\), \(y>1\) のとき
\(\log_{x}y+\log_{y}x\)
の最小値を求めよ。
(解答)
\(\log_{x}y+\displaystyle\frac{1}{\log_{x}y}\) (逆数の和)
です。分かりやすく\(\log_{x}y=t\) とすると、\(t+\displaystyle\frac{1}{t}\) であり、\(x>1\), \(y>1\) から \(t>0\) なので相加相乗平均が使える形です。
\(x>1\), \(y>1\) より
\(\log_{x}y>0\)
相加相乗平均の不等式から
\(\log_{x}y+\log_{y}x\)
\(=\log_{x}y+\displaystyle\frac{1}{\log_{x}y}\)
\(≧2\sqrt{\log_{x}y\cdot\displaystyle\frac{1}{\log_{x}y}}\)
\(=2\)
つまり
\(\log_{x}y+\log_{y}x≧2\)
等号は \(\log_{x}y=\displaystyle\frac{1}{\log_{x}y}\) のとき
\((\log_{x}y)^2=1\)
\(\log_{x}y=1\)
つまり
\(x=y\) のとき成立
したがって
最小値 \(2\) (\(x=y\))
以上になります。お疲れさまでした。
ここまで見て頂きありがとうございました。
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